Khi chúng ta đã biết phương trình của hai mặt phẳng, việc tính toán khoảng cách giữa chúng khá dễ dàng. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tổng hợp các công thức và ví dụ cụ thể về việc tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng.
Mục lục
1. Công thức tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song
Trong không gian Oxyz, giả sử chúng ta có hai mặt phẳng song song với nhau, được biểu diễn bởi các phương trình (α): ax + by + cz + d1 = 0 và (β): ax + by + cz + d2 = 0. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng này sẽ được tính theo công thức sau đây:
d((α); (β)) = |d1 - d2| / √(a^2 + b^2 + c^2)
Chú ý: Nếu d1 = d2 => hai mặt phẳng này trùng nhau => khoảng cách giữa chúng là 0.
2. Ví dụ về bài tập có lời giải cụ thể
Bài tập 1: Trong không gian Oxyz, có hai mặt phẳng có phương trình lần lượt là (α): x – 2y + z + 1 = 0 và (β): x – 2y + z + 3 = 0. Hãy tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng?
Hướng dẫn giải:
Ta thấy hai mặt phẳng này trùng nhau, do đó khoảng cách giữa chúng là 0.
Bài tập 2: Hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau, cách nhau 3 đơn vị. Biết phương trình của mặt phẳng (α) là 2x – 5y – 3z + 1 = 0. Hãy xác định các hệ số của phương trình mặt phẳng (β).
Hướng dẫn giải:
Vì (α) và (β) song song với nhau, nên ta có a = 2, b = -5 và c = -3.
Hơn nữa, ta còn biết rằng khoảng cách giữa (α) và (β) là 3, do đó:
|1 - d1| / √(2^2 + (-5)^2 + (-3)^2) = 3
Từ đó suy ra d1 = (338 – √1).
Kết luận: Phương trình của mặt phẳng (β) là 2x – 5y – 3z + (338 – √1) = 0.
2. Công thức tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng trong không gian
Công thức tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng trong không gian là một chủ đề rất thú vị. Điều này giúp chúng ta có thêm tri thức và dễ dàng giải quyết các bài tập liên quan đến khoảng cách giữa 2 mặt phẳng trong không gian.
Định nghĩa khoảng cách giữa 2 mặt phẳng trong không gian
Trước tiên, chúng ta nhắc lại định nghĩa: khoảng cách từ một điểm M lên mặt phẳng (P) là khoảng cách giữa M và hình chiếu của nó lên mặt phẳng (P). Ký hiệu là d(M,(P)).
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) đồng thời với nhau. Khoảng cách giữa mặt phẳng (P) và (Q) là khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên mặt phẳng (P) đến mặt phẳng (Q) hoặc ngược lại. Ký hiệu là d((P),(Q)).
Công thức tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng trong không gian
Bây giờ, chúng ta hãy cùng nhau tìm hiểu công thức tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng trong không gian. Điều này sẽ giúp chúng ta giải quyết các bài tập liên quan đến việc tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng trong không gian một cách dễ dàng và thuận tiện.
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song trong không gian. Phương trình của chúng có thể được biểu diễn dưới dạng:
(P): ax + by + cz + d = 0
(Q): ax + by + cz + d’ = 0 (a^2 + b^2 + c^2 > 0 và d ≠ d’)
Khi đó, giả sử M(α;β;γ) là một điểm thuộc mặt phẳng (P), ta có aα + bβ + cγ = -d. Khoảng cách giữa (P) và (Q) chính là khoảng cách giữa M và mặt phẳng (Q), do đó: