Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật và bài tập - Toán lớp 6

Ngày nay, việc giải các bài toán về tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật không còn là một việc khó khăn đối với các em học sinh. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về một số dạng toán này, công thức và cách giải, sau đó áp dụng vào các bài tập.

Mục lục

1. Dạng toán tính tổng sử dụng phương pháp quy nạp.
2. Dạng toán tính tổng sử dụng phương pháp khử liên tiếp
3. Dạng toán giải phương trình với ẩn là tổng cần tìm
4. Bài viết liên quan:
5. Dạng toán vận dụng công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều.
6. Dạng toán tổng hợp vận dụng các tổng đã biết
7. Một số bài tập luyện tập về tính tổng dãy số có quy luật

Dạng toán tính tổng sử dụng phương pháp quy nạp.

Đối với các trường hợp có tính tổng hữu hạn:

S_n = a_1 + a_2 + … + a_n (*)

Trong trường hợp chúng ta đã biết kết quả (đề bài đã cung cấp kết quả hoặc chúng ta có thể dự đoán được kết quả), chúng ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp này để chứng minh.

Ví dụ:
Tính tổng S_n = 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)

Hướng dẫn:
(sử dụng phương pháp quy nạp)

Đầu tiên, chúng ta thử với n = 1, ta có: S_1 = (2×1 – 1) = 1
Thử với n = 2, ta có: S_2 = (2×1 – 1) + (2×2 – 1) = 1 + 3 = 4 = 2^2
Thử với n = 3, ta có: S_3 = (2×1 – 1) + (2×2 – 1) + (2×3 – 1) = 1 + 3 + 5 = 9 = 3^2
…

Chúng ta dự đoán: S_n = 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n^2

Phương pháp quy nạp: S_n = 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n^2 (*)

Với n = 1; S_1 = 1 (đúng)

Giả sử đúng với n = k (k≠1), tức là:

S_k = 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = k^2 (1)

Chúng ta cần chứng minh (*) đúng với n = k + 1, tức là:

S_k+1 = 1 + 3 + 5 + … + (2k-1) + (2k+1) = (k+1)^2

Vì chúng ta đã giả sử S_k đúng nên ta đã có (1), từ đây ta biến đổi để thu được (2), (1) còn được gọi là giải thiết quy nạp.

1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = k^2

1 + 3 + 5 + … + (2k-1) + (2k+1) = k^2 + (2k+1) (cộng 2k+1 vào 2 vế).

Từ đó ⇒ 1 + 3 + 5 + … + (2k-1) + (2k+1) = k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2

Tương tự như vậy, chúng ta có thể chứng minh các kết quả sau bằng phương pháp quy nạp toán học:

Dạng toán tính tổng sử dụng phương pháp khử liên tiếp

Giả sử chúng ta cần tính tổng: S_n = a_1 + a_2 + … + a_n (*) mà ta có thể biểu diễn a_i, i = 1,2,3,…,n qua hiệu của 2 số hạng liên tiếp của 1 dãy khác, cụ thể như sau:

a_1 = b_1 – b_2
a_2 = b_2 – b_3
…
a_n = bn – b(n+1)

⇒ Khi đó ta có: S_n = (b_1 – b_2) + (b_2 – b_3) + … + (bn – b(n+1)) = b1 – b(n+1)

Ví dụ 1: Tính tổng:
S = 3 – 8 – 13 – 18 – … – 228

Hướng dẫn:

Ta có:
S = (3 – 8) + (8 – 13) + … + (223 – 228)
⇒ S = 3 – 228 = -225

Ví dụ 2: Tính tổng:
S = 6 + 6^2 + 6^3 +…+ 6^99 + 6^100

Hướng dẫn:

Ta có:
S = 6(1 + 6 + 6^2 + … + 6^98 + 6^99)
⇒ S = 6 (1 – 6^100) : (1 – 6) = 7(1 – 6^100) / (-5)

Ví dụ 3: Tính tổng:
S = 2 – 5 + 5^2 – 5^3 + … + 5^98 – 5^99

Hướng dẫn:

Ta có:
S = 2 – 5(1 – 5 + 5^2 – 5^3 + … + 5^97 – 5^98 + 5^99)
⇒ S = (2 + 5^100) / (1 + 5)

Dạng toán giải phương trình với ẩn là tổng cần tìm

Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1 + 2 + 2^2 + … + 2^100 (*)

Hướng dẫn:
Cách 1: Ta viết lại S như sau:
S = 1 + 2(1 + 2 + 2^2 + … + 2^99)
S = 1 + 2(1 + 2 + 2^2 + … + 2^99 + 2^100 – 2^100)
⇒ S = 1 + 2(S – 2^100) = 1 + 2S – 2^101
⇒ S = 2^101 – 1

Cách 2: Nhân cả 2 vế với 2, ta được:
2S = 2(1 + 2 + 2^2 + … + 2^100)
⇔ 2S = 2 + 2^2 + 2^3 + … + 2^101 (**)

Dạng toán vận dụng công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều.

Đối với dạng này ở bậc học cao hơn như THPT, các em sẽ có công thức tính theo cấp số cộng hoặc cấp số nhân. Tuy nhiên, với lớp 6, các em chỉ cần dựa vào cơ sở lý thuyết sau:
Để tính số số hạng của 1 dãy mà 2 số hạng liên tiếp cách nhau đúng 1 số đơn vị, ta dùng công thức:

Số số hạng = [(số cuối – số đầu):(khoảng cách)] + 1