Dưới đây là một số ví dụ cùng với hướng dẫn giải để ôn tập chương 3 Toán 11.
Mục lục
Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức liên quan đến cấp số
a) Chứng minh rằng:
(1^2 + 2^2 + … + (n – 1)^2 + n^2) = n(n + 1)(2n + 1)/6
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Với n = 1, ta có VT = 1^2 = 1 và VP = (1(1 + 1)(2.1 + 1))/6 = 1. Vậy VT = VP, đẳng thức đúng với n = 1.
Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, tức là:
(1^2 + 2^2 + … + (k – 1)^2 + k^2) = k(k + 1)(2k + 1)/6 (1)
Ta sẽ chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là:
(1^2 + 2^2 + … + (k – 1)^2 + k^2 + (k + 1)^2) = (k + 1)(k + 1)(2k + 3)/6 (2).
Thật vậy:
VT(2) = [1^2 + 2^2 + … + k^2] + (k + 1)^2
= (k + 1)[(2k^2 + k)/6 + (k + 1)]
= (k + 1)[(2k^2 + 7k + 6)/6]
= (k + 1)(k + 2)(2k + 3)/6
= VP(2)
Vậy (2) đúng, tức là đẳng thức đúng với mọi n ≥ 1.
b) Chứng minh rằng:
(1/3 + 2/3^2 + … + n/3^n) = 3/4 – (2n + 3)/(4.3^n)
Hướng dẫn giải:
-
Với n = 1, ta có VT = 1 = VP. Đẳng thức đúng với n = 1.
-
Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, tức là:
(1/3 + 2/3^2 + … + k/3^k) = 3/4 – (2k + 3)/(4.3^k) (1)
Ta sẽ chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là:
(1/3 + 2/3^2 + … + k/3^k + (k + 1)/3^(k + 1)) = 3/4 – (2k + 5)/(4.3^(k + 1)) (2).
Thật vậy:
VT(2) = 3/4 – (2k + 3)/(4.3^k) + (k + 1)/3^(k + 1)
= 3/4 – (2k + 5)/(4.3^(k + 1))
= VP(2)
Vậy (2) đúng, tức là đẳng thức đúng với mọi n ≥ 1.
Ví dụ 2: Chứng minh tính chất của dãy số
Cho dãy số (u_n):
u_1 = 1
u2 = 2
u(n + 1) = sqrt(un) + sqrt(u(n – 1)) (với n ≥ 2)
Chứng minh rằng dãy (u_n) là dãy tăng và bị chặn.
Hướng dẫn giải:
Ta chứng minh dãy (u_n) là dãy tăng bằng phương pháp quy nạp.
Dễ thấy: u_1 < u_2 < u_3.
Giả sử u_(k – 1) < uk (với k ≥ 2), ta chứng minh u(k + 1) < u_k. Thật vậy:
u_(k + 1) = sqrt(uk) + sqrt(u(k – 1)) > sqrt(u(k – 1)) + sqrt(u(k – 2)) = u_k
Vậy (u_n) là dãy tăng.
Bằng quy nạp, ta chứng minh được u_n < 4 (với mọi n), hơn nữa u_n > 0.
Nên dãy (u_n) là dãy bị chặn.
Ví dụ 3: Chứng minh đẳng thức trong phương trình bậc ba
Chứng minh rằng:
a) Nếu phương trình (x^3 – ax^2 + bx – c = 0) có ba nghiệm lập thành cấp số công thì (9ab = 2a^3 + 27c).
b) Nếu phương trình (x^3 – ax^2 + bx – c = 0) có ba nghiệm lập thành cấp số nhân thì (c(ca^3 – b^3) = 0).
Hướng dẫn:
a) Giả sử phương trình có ba nghiệm (x_1, x_2, x_3) lập thành cấp số công.
Suy ra: (x_1 + x_3 = 2x_2) (1)
Mặt khác: (x^3 – ax^2 + bx – c = (x – x_1)(x – x_2)(x – x_3))
= x^3 – (x_1 + x_2 + x_3)x^2 + (x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1)x – x_1x_2x_3
Suy ra (x_1 + x_2 + x_3 = a) (2)
Từ (1) và (2), ta suy ra (3x_2 = a) hay (x_2 = a/3)
Dẫn tới phương trình đã cho có nghiệm (x_2 = a/3), tức là:
((a/3)^3 – a(a/3)^2 + b(a/3) – c = 0
Leftrightarrow – 2a^3/27 + ab/3 – c = 0
Leftrightarrow 9ab = 2a^3 + 27c)
Ta có đpcm.
b) Giả sử ba nghiệm (x_1, x_2, x_3) lập thành cấp số nhân, suy ra (x_1x_3 = x_2^2)
Theo phân tích bài trên, ta có: (x_1x_2x_3 = c
Leftrightarrow x_2^3 = c
Leftrightarrow x_2 = c^(1/3))
Hay phương trình đã cho có nghiệm (x_2 = c^(1/3)), tức là:
((c^(1/3))^3 – a(c^(1/3))^2 + b(c^(1/3)) – c = 0
Leftrightarrow bc^(1/3) = ac^(2/3)
Leftrightarrow c(ca^3 – b^3) = 0)
Bài toán được chứng minh.
Ví dụ 4: Chứng minh tính chất của tam giác
a) Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng (tan(A/2), tan(B/2), tan(C/2)) lập thành cấp số cộng (Leftrightarrow cos(A), cos(B), cos(C)) lập thành cấp số cộng.
b) Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng (cot(A/2), cot(B/2), cot(C/2)) lập thành cấp số cộng (Leftrightarrow sin(A), sin(B), sin(C)) lập thành cấp số cộng.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có: (tan(A/2), tan(B/2), tan(C/2)) lập thành cấp số cộng
(Leftrightarrow tan(A/2) + tan(C/2) = 2tan(B/2)
Leftrightarrow sin(A/2 + C/2)/(cos(A/2)cos(C/2)) = 2sin(B/2)/cos(B/2)
Leftrightarrow cos^2(B/2) = sin(B/2)(cos(A/2 + C/2) + cos(A/2 – C/2))
Leftrightarrow (1 + cos(B))/(2) = (1 – cos(B))/(2) + (cos(A) + cos(C))/(2)
Leftrightarrow cos(B) = (cos(A) + cos(C))/(2)
Leftrightarrow cos(A), cos(B), cos(C)) lập thành cấp số cộng.
b) Ta có: (cot(A/2) – cot(B/2) = cot(B/2) – cot(C/2))
(Leftrightarrow cos(A/2)sin(B/2) – cos(B/2)sin(A/2))/(sin(A/2)sin(B/2)) = (cos(B/2)sin(C/2) – cos(C/2)sin(B/2))/(sin(C/2)sin(B/2))
(Leftrightarrow sin(B – A)/2cos(A)sin(B) = sin(C – B)/2cos(C)sin(B))
(Leftrightarrow sin(B) – sin(A) = sin(C) – sin(B)
Leftrightarrow sin(A) + sin(C) = 2sin(B))