Hãy cùng nhau giải quyết 34 bài tập phương trình và hệ phương trình toán nâng cao lớp 9. Những bài tập này sẽ giúp bạn rèn luyện và nâng cao khả năng giải toán của mình. Dưới đây là một số bài tập mẫu để bạn tham khảo.
Mục lục
Bài toán 1: Giải phương trình (sqrt {x – 2} + sqrt {10 – x} = {x^2} – 12x + 40)
Đề bài yêu cầu ta tìm nghiệm của phương trình trên. Điều kiện tồn tại của phương trình là 2 ≤ x ≤ 10.
Giải theo phương pháp Cô-si ta có:
Chúng ta biết rằng (a + b ≤ sqrt{2(a^2 + b^2)}), với a ≥ 0 và b ≥ 0.
Áp dụng bất đẳng thức trên cho biểu thức (sqrt {x – 2} + sqrt {10 – x}) ta có:
sqrt {x – 2} + sqrt {10 – x} ≤ sqrt {2(x – 2 + 10 – x)} = 4.
Từ đây ta thấy rằng (x^2 – 12x + 40 ≥ 4). Điều này xảy ra khi và chỉ khi (x – 6 = 0). Vậy phương trình có nghiệm x = 6.
Hoặc, ta cũng có thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si để giải phương trình này. Chúng ta sẽ có:
sqrt {x – 2} + sqrt {10 – x} = (sqrt {x – 2} sqrt 4) / 2 + (sqrt {10 – x} sqrt 4) / 2 ≤ (x – 2 + 4) / 4 + (10 – x + 4) / 4 = 4.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi (x – 2 = 4; 10 – x = 4). Kết quả thu được là x = 6.
Bài toán 2: Giải phương trình: (sqrt {{x^2} + x – 1} + sqrt {x – {x^2} + 1} = {x^2} – x + 2)
Phương trình này yêu cầu chúng ta tìm nghiệm. Ta có điều kiện (x^2 + x – 1 ≥ 0) và (x – {x^2} + 1 ≥ 0).
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho từng số hạng của phương trình, ta được:
sqrt {x^2 + x – 1} + sqrt {x – {x^2} + 1} ≤ sqrt { ((1^2) + (1^2)) * (x^2 + x – 1 + x – {x^2} + 1)} = sqrt 4 = 2.
Từ đây, ta nhận thấy rằng ({x^2} – x + 2 ≤ x + 1). Điều này xảy ra khi và chỉ khi (x – 1 = 0). Vậy phương trình có nghiệm x = 1.
Bài toán 3: Giải phương trình: (sqrt {2x – 3} + sqrt {5 – 2x} = 3{x^2} – 12x + 14)
Phương trình này yêu cầu chúng ta tìm nghiệm. Điều kiện tồn tại của phương trình là 3/2 ≤ x ≤ 5/2.
Giải theo phương pháp Cô-si ta có:
Với từng số hạng trong phương trình, ta áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
sqrt {2x – 3} + sqrt {5 – 2x} ≤ sqrt { ((1^2) + (1^2)) * (2x – 3 + 5 – 2x)} = sqrt 4 = 2.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi (2x – 3 = 5 – 2x Leftrightarrow x = 2). Đẳng thức xảy ra ở phương trình này là 2, vì vậy nghiệm của phương trình là x = 2.
Kết luận
Trên đây là một số bài tập về phương trình và hệ phương trình toán nâng cao lớp 9. Bạn có thể tham khảo toàn bộ nội dung bài tập và tài liệu liên quan trên website Hoc247.Net. Hy vọng rằng việc rèn luyện và giải những bài tập này sẽ giúp bạn nâng cao kỹ năng toán học của mình.
