Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Lời giải chi tiết: Trong bài toán này, chúng ta có một khối tứ diện ABCD với các cạnh còn lại có độ dài bằng 2 căn 3. Nhiệm vụ của chúng ta là tìm giá trị của x sao cho thể tích của khối tứ diện ABCD là lớn nhất.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các khái niệm về tam giác cân và đường cao.
Bước 1: Gọi H là trung điểm của cạnh AB và CH là đường cao của tam giác ABC. Vì tam giác ABC là tam giác cân tại C, nên HD cũng là đường cao.
Bước 2: Khi đó, ta có AB // CH và AB // HD, suy ra tứ diện CHD là tứ diện hình chiếu.
Bước 3: Gọi CK là đường cao của tứ diện CHD.
Bước 4: Ta có HB = x/2. Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác HBC, ta có HC = căn bậc hai của (B^2 – HB^2) = căn bậc hai của (12 – x^2)/2.
Bước 5: Tương tự, ta có HD = căn bậc hai của (12 – x^2)/2. Đặt y = KD.
Bước 6: Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác CHK và CKD, ta có CH^2 – HD^2 + 2HD.y – y^2 = 12 – y^2. Từ đó suy ra y = 6/HD = 12/căn bậc hai của (48 – x^2).
Bước 7: Khi đó, CK^2 = CD^2 – y^2 = 12 – (12/căn bậc hai của (48 – x^2))^2 = (12(36 – x^2))/(48 – x^2). Từ đó suy ra CK = căn bậc hai của (12(36 – x^2))/(48 – x^2).
Bước 8: Diện tích tam giác ABD là S1 = 1/2(AB)(HD) = (x(căn bậc hai của (48 – x^2)))/4.
Bước 9: Vậy, thể tích tứ diện là V = 1/3(CK)(S1) = (1/6)căn bậc hai của 3(x(căn bậc hai của (48 – x^2)))(căn bậc hai của (36 – x^2)) = (1/6)căn bậc hai của 3(x)(căn bậc hai của (36 – x^2)).
Bước 10: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho (x,căn bậc hai của (36 – x^2)), ta có V = (căn bậc hai của 3/6)(x)(căn bậc hai của (36 – x^2)) ≤ (căn bậc hai của 3/6)((x^2) + (36 – x^2))/2 = 3căn bậc hai của 3.
Bước 11: Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = căn bậc hai của 18 = 3căn bậc hai của 2.
Chọn đáp án D.
