Mẹo giải dễ dàng các bài tập về bất phương trình và dấu của nhị thức bậc nhất – Toán lớp 10

Chào các bạn! Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau hệ thống lại các dạng bài tập về bất phương trình bậc nhất và vận dụng dấu của nhị thức bậc nhất một cách nhuần nhuyễn. Đặc biệt, chúng ta sẽ tập trung vào các bài tập biện luận, có dấu trị tuyệt đối và căn thức, để các bạn dễ dàng ghi nhớ và giải quyết.

Kiến thức cần nhớ

1. Bất phương trình ẩn x

• Bất phương trình ẩn x là những bất phương trình có dạng:
  • f(x) < g(x); (1)
  • f(x) > g(x); (2)

2. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

• Bất phương trình bậc nhất một ẩn có dạng:

  • ax + b < 0 (3)
  • ax + b > 0 (4)
  • ax + b ≤ 0 (5)
  • ax + b ≥ 0 (6)

• Tập nghiệm: Xét ax + b < 0

  • Nếu a > 0:
    • Nếu b > 0: S = Ø
    • Nếu b ≤ 0: S = R
  • Nếu a < 0:
    • Nếu b < 0: S = R
    • Nếu b ≥ 0: S = Ø

3. Dấu của nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b

• Ta có bảng xét dấu như sau:

  

4. Hệ bất phương trình bậc nhất

• Gọi S1 và S2 là tập nghiệm của bất phương trình (1): ax + b < 0 và (2): ax + b > 0.
• (1) và (2) có nghiệm ⇔ S1 ∩ S2 ≠ Ø
• (1) và (2) vô nghiệm ⇔ S1 ∩ S2 = Ø
• (1) tương đương (2) ⇔ S1 = S2
• (1) là hệ quả của (2) ⇔ S2 ⊂ S1

Bài tập vận dụng dấu của nhị thức bậc nhất, bất phương trình bậc nhất

Dạng 1: Giải và biện luận bất phương trình bậc nhất

• Phương pháp:
  • Có: ax + b < 0 ⇔ ax < -b, xét các trường hợp:
    • Nếu a > 0:
    • Nếu a < 0:
    • Nếu a = 0: 0x < -b nếu:
      • b ≥ 0: S = Ø.
      • b ≤ 0: S = R.

Ví dụ 1: Giải và biện luận bất phương trình bậc nhất: m2(x - 2) > x - 2m. (*)

Lời giải:

• Ta có: (*) ⇔ m2x - 2m2 > x - 2m
  ⇔ m2x - x > 2m2 - 2m
  ⇔ (m2 - 1)x > 2m(m - 1) (**)
• Trường hợp 1: Nếu m2 - 1 = 0 ⇔ m = 1 hoặc m = -1
  • Nếu m = 1 thay vào (**) ta được: 0x > 0 (vô nghiệm)
  • Nếu m = -1 thay vào (**) ta được: 0x > 4 (vô nghiệm)
• Trường hợp 2: Nếu m2 - 1 > 0 ⇔ m > 1 hoặc m < -1
  • Khi đó từ (**) ta có:
• Trường hợp 3: Nếu m2 - 1 < 0 ⇔ -1 < m < 1
  • Khi đó từ (**) ta có:
• Kết luận:
  • Nếu m = ±1 thì bất phương trình có tập nghiệm: S = Ø;
  • Nếu -1 < m < 1 thì …
  • Nếu m < -1 hoặc m > 1 thì …

Ví dụ 2: Giải và biện luận bất phương trình:

Lời giải:

• Ta có: (**)

• Lập bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất này như sau:

  

• Từ bảng xét dấu nhị thức bậc nhất ở trên ta có:

  • m = 3 từ (**) ta có:
  • m < 0 hoặc m > 3 từ (**) ta có:
  • 0 < m < 3 từ (**) ta có:

• Kết luận: Với m = 3 thì tập nghiệm là S = R
0 < m < 3 thì …
  m < 0 hoặc m > 3 thì …

Dạng 2: Xét dấu các nhị thức bậc nhất để giải biện luận bất phương trình bậc nhất

• Phương pháp:
  • Vận dụng tính chất dấu của nhị thức bậc nhất

Ví dụ 1: Giải và biện luận bất phương trình (x+m)(x-m+2)≥0 (*)

Lời giải:

• Xét hàm: f(x) = (x+m)(x-m+2)
• Nếu f(x) = 0 ⇒ x = -m hoặc x = m - 2

Trường hợp 1: m - 2 > -m ⇒ m > 1 ta có bảng xét dấu:

• Từ bảng xét dấu trên ta có tập nghiệm: S = (-∞;-m] ∪ [m-2;+∞)

Trường hợp 2: m - 2 = -m ⇒ m = 1 ta có: S = R

Trường hợp 3: m - 2 < -m ⇒ m < 1 ta có bảng xét dấu:

• Từ bảng xét dấu trên ta có tập nghiệm: S = (-∞;m-2] ∪ [-m;+∞)

Ví dụ 2: Giải và biện luận bất phương trình (*)

Lời giải:

• Ta có: (**)

• Lập bảng xét dấu như sau:

  

• Từ bảng xét dấu ta có tập nghiệm: 1 ≤ x < m.

Dạng 3: Bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối

• Phương pháp:
  • Vận dụng các tính chất:

Ví dụ 1: Giải bất phương trình |1 - x| + |x - 2| > |x - 4| (*)

Lời giải:

• Ta lập bảng xét dấu như sau:

  

• TH1: x < 1 thì từ (*) ta được: x < -1 (thỏa).

• TH2: 1 ≤ x ≤ 2 từ (*) ta được:x > 3 (không thỏa).

• TH3: 2 < x < 4 từ (*) ta được: x > 7/3 suy ra (7/3) < x < 4.

• TH4: x ≥ 4 từ (*) ta được: x > -1 suy ra x ≥ 4.

• Kết luận, tập nghiệm của (*) là:

Ví dụ 2: Giải bất phương trình |mx - 1| < 2m - 2. (*)

Lời giải:

• Từ tính chất của trị tuyệt đối, ta có:

  |mx - 1| < 2m - 2 ⇔ mx < 2m - 1 hoặc mx > 3 - 2m. (**)

• TH1: m = 0: từ (**) ta được: (vô nghiệm).

• TH2: m > 0: từ (**) ta được:

• Xét dấu: ta có bảng sau:

  

• TH3: m < 0 từ (**) ta được:

Do m < 0 nên (vô nghiệm)

• Kết luận: m ≤ 1: S = Ø
m > 1: …

Một số Bài tập về bất phương trình, dấu của nhị thức bậc nhất.

Bài tập 1: Giải các bất phương trình
a) |x| - |x - 2| ≤ 2|x - 4|
b) ...

Bài tập 2: Giải và biện luận bất phương trình: …

Bài tập 3: Giải và biện luận bất phương trình: …

Đối với bài tập về xét dấu nhị thức còn có thêm dạng bài tập xét dấu của tích hoặc thương nhiều nhị thức bậc nhất (gần giống dạng 2 và 3 ở trên) tuy nhiên nội dung này chúng ta sẽ đề cập chi tiết hơn ở phần bài tập xét dấu tam thức bậc 2.

Với việc vận dụng việc xét dấu của nhị thức bậc nhất để giải các bài tập về bất phương trình bậc nhất ở trên cho thấy sự chặt chẽ trong cách giải, qua đó việc giải các bài toán thuộc loại tương đối khó là biện luận cũng được rõ ràng và dễ hiểu hơn.