Mặt phẳng là một khái niệm quan trọng trong toán học và hình học không gian. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về các khái niệm cơ bản liên quan đến mặt phẳng.
Mục lục
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Định nghĩa
Một mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là vectơ không bằng không và vuông góc với mặt phẳng đó.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Một phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng $Ax + By + Cz + D = 0$, với A, B, C không đồng thời bằng 0.
- Nếu mặt phẳng có phương trình tổng quát là $Ax + By + Cz + D = 0$, thì nó có một vectơ pháp tuyến là $overrightarrow{n} = begin{pmatrix} A B C end{pmatrix}$.
- Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M_0(x_0, y_0, z_0)$ và có vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n} = begin{pmatrix} A B C end{pmatrix}$ là $A(x – x_0) + B(y – y_0) + C(z – z_0) = 0$.
Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc
Điều kiện để hai mặt phẳng song song
Hai mặt phẳng $alpha_1$ và $alpha_2$ song song nếu và chỉ nếu:
- $overrightarrow{n_1} = koverrightarrow{n_2}$ và $D_1 neq kD_2$, hoặc
- $overrightarrow{n_1} = koverrightarrow{n_2}$ và $D_1 = kD_2$, trong đó k là một số thực khác không.
Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc
Hai mặt phẳng $alpha_1$ và $alpha_2$ vuông góc nếu và chỉ nếu $overrightarrow{n_1} cdot overrightarrow{n_2} = 0$, hay $A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0$.
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Định lí:
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $alpha$ có phương trình $Ax + By + Cz + D = 0$ và điểm $M_0(x_0, y_0, z_0)$. Khoảng cách từ điểm $M_0$ đến mặt phẳng $alpha$, kí hiệu là $d(M_0, alpha)$, được tính theo công thức:
$d(M_0, alpha) = frac{left| A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D right|}{sqrt {A^2 + B^2 + C^2}}$
Thông qua bài viết này, hi vọng bạn đã có cái nhìn sơ bộ về mặt phẳng trong không gian. Hãy tiếp tục học tập và nghiên cứu để hiểu rõ hơn về khái niệm này.
