Tứ diện đều là một khái niệm hình học được sử dụng trong toán học. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về tứ diện đều và những tính chất đặc biệt của nó.
Mục lục
Tứ diện là gì?
Tứ diện là một loại hình học có bốn đỉnh và được ký hiệu bằng A, B, C, D. Bất kì điểm nào trong số các điểm trên được gọi là đỉnh, và mặt tam giác đối diện với đỉnh đó được gọi là đáy.
Ví dụ: Nếu chúng ta chọn A là đỉnh, thì (BCD) sẽ là mặt đáy.
Tứ diện đều là gì?
Tứ diện đều là một loại tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều. Nó cũng là một hình chóp tam giác đều. Điều đặc biệt ở hình chóp tứ diện đều là cạnh bên có cùng độ dài với cạnh đáy.
Tính chất của tứ diện đều
Tứ diện đều có một số tính chất đặc biệt:
- Bốn mặt xung quanh là các tam giác đều bằng nhau.
- Các mặt của tứ diện là những tam giác có ba góc đều nhọn.
- Tổng các góc tại một đỉnh bất kỳ của tứ diện là 180 độ.
- Hai cặp cạnh đối diện trong một tứ diện có độ dài bằng nhau.
- Tất cả các mặt của tứ diện đều tương đương nhau.
- Bốn đường cao của tứ diện đều có độ dài bằng nhau.
- Tâm của các mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp nhau, trùng với tâm của tứ diện.
- Hình hộp ngoại tiếp tứ diện là hình hộp chữ nhật.
- Các góc phẳng nhị diện ứng với mỗi cặp cạnh đối diện của tứ diện bằng nhau.
- Đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện là một đường thẳng đứng vuông góc của cả hai cạnh đó.
- Một tứ diện có ba trục đối xứng.
- Tổng các cos của các góc phẳng nhị diện chứa cùng một mặt của tứ diện bằng 1.
Cách vẽ tứ diện đều
Để vẽ một tứ diện đều, chúng ta làm theo các bước sau:
Bước 1: Xem hình tứ diện đều là một hình chóp tam giác đều ABCD.
Bước 2: Vẽ mặt là cạnh đáy, ví dụ là mặt BCD.
Bước 3: Vẽ một đường trung tuyến của mặt đáy BCD. Đường trung tuyến này là BM.
Bước 4: Xác định trọng tâm G của tam giác BCD.
Bước 5: Dựng đường cao.
Bước 6: Xác định điểm A trên đường cao vừa dựng và hoàn thiện hình tứ diện đều.
Thể tích của tứ diện đều
Một tứ diện đều có 6 cạnh bằng nhau và 4 mặt tam giác đều. Thể tích của một khối tứ diện đều được tính bằng một phần ba tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối tứ diện.
Bài tập tính thể tích khối tứ diện đều
Cùng thử giải một số bài tập nhỏ để tính thể tích của khối tứ diện đều:
Câu 1: Khối chóp tứ diện đều cạnh a có thể tích bằng:
Câu 2: Số mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là:
A. 4 mặt phẳng
B. 6 mặt phẳng
C. 8 mặt phẳng
D. 10 mặt phẳng
Câu 3: Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành:
A. Các đỉnh của một hình hai mươi mặt đều.
B. Các đỉnh của một hình mười hai mặt đều.
C. Các đỉnh của một hình bát diện đều.
D. Các đỉnh của một hình tứ diện.
Câu 4: Cho khối chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên gấp 2 lần cạnh đáy. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
Câu 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy a và cạnh bên bằng . Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Câu 6: Cho tứ diện đều ABCD có thể tích bằng 12 và G là trọng tâm của tam giác BCD. Tính thể tích của khối chóp A.GBC.
Câu 7: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh 2a. Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a.
Câu 8: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh . Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a.
Câu 9: Cho tứ diện đều ABCD có thể tích bằng 1. Tìm độ dài các cạnh của tứ diện.
Bài tập tự luận:
Bài 1: Hãy tính thể tích khối tứ diện đều ABCD biết:
a) cạnh AB = 4 cm
b) cạnh CD = 6 cm
c) cạnh BD = 3 cm
Hướng dẫn giải:
a) Vì là tứ diện đều nên các cạnh có độ dài bằng nhau: BC = CD = DA = BD = AC = AB = 4 cm, nên thể tích là…
Trên đây là những kiến thức về tứ diện đều mà chúng ta đã tìm hiểu. Hy vọng rằng bài viết này có thể giúp bạn hiểu rõ hơn về khái niệm này.
