Trong bài hướng dẫn này, chúng ta sẽ tìm hiểu về vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn. Bài tập 17-20 trang 109-110 trong sách giáo khoa Toán 9 tập 1 sẽ giúp bạn rèn kỹ năng giải các bài tập hình học. Bạn cần chú ý đọc kỹ các câu hỏi trước khi bắt đầu.
Lý thuyết
1. Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
-
Đường thẳng và đường tròn cắt nhau: Khi đường thẳng và đường tròn có 2 điểm chung, chúng được coi là cắt nhau. Đường thẳng được gọi là cát tuyến của đường tròn. Khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng có giá trị nhỏ hơn bán kính của đường tròn.
-
Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau: Khi đường thẳng và đường tròn chỉ có 1 điểm chung, chúng được coi là tiếp xúc nhau. Đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của đường tròn. Khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng có giá trị bằng bán kính của đường tròn.
-
Đường thẳng và đường tròn không giao nhau: Khi đường thẳng và đường tròn không có điểm chung nào, chúng không giao nhau.
2. Hệ thức giữa khoảng cách từ tâm đường tròn tới đường thẳng và bán kính của đường tròn
Cho đường thẳng a và đường tròn (O;R). Khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng là d. Ta có:
-
Khi d = R, đường thẳng a cắt đường tròn (O;R) tại 2 điểm phân biệt.
-
Khi d = R, đường thẳng a có 1 điểm chung với đường tròn (hay đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O;R)).
-
Khi d > R, đường thẳng a không có điểm chung với đường tròn (O;R).
Dưới đây là bảng tóm tắt:
Khoảng cách d | Đường thẳng a và đường tròn (O;R) |
---|---|
d = R | Đường thẳng a cắt đường tròn |
d = R | Đường thẳng a tiếp xúc đường tròn |
d > R | Đường thẳng a không giao đường tròn |
Câu hỏi
1. Trả lời câu hỏi 1 trang 107 sách giáo khoa Toán 9 tập 1
Câu hỏi: Vì sao một đường thẳng và một đường tròn không thể có nhiều hơn hai điểm chung?
Trả lời: Nếu đường thẳng và đường tròn có nhiều hơn hai điểm chung, đường tròn sẽ đi qua ít nhất ba điểm thẳng hàng, điều này không hợp lý. Vì vậy, một đường thẳng và một đường tròn không thể có nhiều hơn hai điểm chung.
2. Trả lời câu hỏi 2 trang 108 sách giáo khoa Toán 9 tập 1
Câu hỏi: Hãy chứng minh khẳng định: HA = HB = sqrt(R^2 – OH^2).
Trả lời: OH là một phần đường kính vuông góc với AB, do đó H là trung điểm của AB (nên HA = HB).
Xét tam giác OHB vuông tại H, ta có:
OB^2 = OH^2 + HB^2
⇒ HB = sqrt(OB^2 – OH^2) = sqrt(R^2 – OH^2).
Vậy HA = HB = sqrt(R^2 – OH^2).
3. Trả lời câu hỏi 3 trang 109 sách giáo khoa Toán 9 tập 1
Câu hỏi:
Cho đường thẳng a và một điểm O cách a là 3cm. Vẽ đường tròn tâm O bán kính 5cm.
a) Đường thẳng a có vị trí như thế nào đối với đường tròn (O)? Vì sao?
b) Gọi B và C là các giao điểm của đường thẳng a và đường tròn (O). Tính độ dài BC.
Trả lời:
a) Đường thẳng a cắt đường tròn (O) tại 2 điểm phân biệt, vì khoảng cách d < R (3cm < 5cm).
b) Xét tam giác OHC vuông tại H, ta có:
HC = sqrt(OC^2 – OH^2) = sqrt(5^2 – 3^2) = 4cm.
⇒ BC = 2HC = 8cm.
Dưới đây là hướng dẫn giải bài 17-20 trang 109-110 sách giáo khoa Toán 9 tập 1. Hãy đọc kỹ đề bài trước khi giải.
Bài tập
Giaibaisgk.com giới thiệu đầy đủ phương pháp giải bài tập phần hình học 9 kèm bài giải chi tiết bài 17-20 trang 109-110 sách giáo khoa Toán 9 tập 1 trong chương II – Đường tròn. Đây là tài liệu tham khảo để bạn rèn kỹ năng giải các bài tập hình học. Dưới đây là chi tiết từng bài tập:
Hình ảnh minh họa bài 17-20 trang 109-110 sách giáo khoa Toán 9 tập 1
1. Giải bài 17 trang 109 sách giáo khoa Toán 9 tập 1
Điền vào các chỗ trống (…) trong bảng sau (R là bán kính của đường tròn, d là khoảng cách từ tâm đến đường thẳng):
Bài giải:
Điền vào chỗ trống ta có kết quả như sau:
-
R: 5cm
-
d: 3cm
-
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn: Đường thẳng và đường tròn cắt nhau.
-
R: 6cm
-
d: 6cm
-
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn: Tiếp xúc nhau.
-
R: 4cm
-
d: 7cm
-
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn: Đường thẳng và đường tròn không giao nhau.
2. Giải bài 18 trang 110 sách giáo khoa Toán 9 tập 1
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(3;4). Hãy xác định vị trí tương đối của đường tròn (A;3) và các trục tọa độ.
Bài giải:
- Kẻ AM vuông góc Ox tại M.
- Kẻ AN vuông góc Oy tại N.
- Ta có AM = 4, R = 3.
- ⇒ AM > R. Nên đường tròn (A;3) và trục hoành không giao nhau.
- Ta có AN = 3, R = 3.
- ⇒ AN = R. Nên đường tròn (A;3) và trục tung tiếp xúc nhau.
3. Giải bài 19 trang 110 sách giáo khoa Toán 9 tập 1
Cho đường thẳng xy. Tâm của các đường tròn có bán kính 1cm và tiếp xúc với đường thẳng xy nằm trên đường nào?
Bài giải:
Gọi O là tâm đường tròn có bán kính 1cm và tiếp xúc với đường thẳng xy.
Kẻ OA vuông góc xy tại A, ta có OA = d = 1cm.
Đường tròn tâm O luôn cách đường thẳng xy một khoảng cố định là 1cm.
Nên tâm của đường tròn có thể nằm trên:
- Đường thẳng a song song với xy và cách xy một đoạn OA = 1cm.
- Hoặc tâm đường tròn nằm trên đường thẳng b song song với xy và cách xy một đoạn OB = 1cm.
4. Giải bài 20 trang 110 sách giáo khoa Toán 9 tập 1
Cho đường tròn tâm O bán kính 6cm và một điểm A cách O là 10cm. Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Tính độ dài AB.
Bài giải:
Ta có AB là tiếp tuyến của (O;6), nên OB vuông góc AB.
Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông OAB, ta có:
OA^2 = OB^2 + AB^2
⇒ AB^2 = OA^2 – OB^2 = 10^2 – 6^2 = 100 – 36 = 64
Suy ra AB = sqrt(64) = 8cm.
Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sách giáo khoa Toán 9 tập 1 với hướng dẫn giải bài 17-20 trang 109-110. Hy vọng bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong việc ôn tập và rèn kỹ năng giải toán.