Với bài viết này, chúng ta sẽ khám phá cách tính diện tích mặt cong của một hình học bằng cách sử dụng phương pháp tích phân kép. Điều này giúp chúng ta xác định diện tích phần mặt cong một cách chính xác và nhanh chóng.
Mục lục
Tính diện tích phần mặt cong
Đầu tiên, chúng ta cần xác định hình chiếu của mặt cong xuống một mặt phẳng.
Ví dụ: Tính diện tích phần mặt cong S, với phương trình z = f(x,y), có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy là miền D.
Với ví dụ này, chúng ta sẽ tìm hình chiếu của S xuống mặt phẳng z = 0 bằng cách khử z từ hai phương trình đã cho.
Từ phương trình trên, ta được hình chiếu của S xuống mặt z = 0 là hình tròn Dxy : x^2 + y^2 ≤ 2.
Sau đó, để tính diện tích mặt cong S, chúng ta sẽ tính z = f(x, y) từ phương trình mặt S.
Vì mặt S nằm phía trên mặt nón, tức là z ≥ 0, nên ta lấy:
- z’x = 2x – 2y
- z’y = 2y – 2x
S = 2∫∫D(4 – x – y)x^2 + y^2 ≤ 2 dxdy
Vậy: S = 4π(2 – 2√2)
Ví dụ khác
Tương tự như ví dụ trên, chúng ta cũng có thể tính diện tích của các hình khác. Dưới đây là một số ví dụ khác:
Ví dụ 1: Tính diện tích phần mặt cầu
Phần mặt cầu được xác định bởi phương trình x + y + z = 13 và nằm giữa hai mặt phẳng z = y và z = -y.
Diện tích cần tính là: S = 2∫∫D(2 – x^2 – y^2)π dxdy = 320π.
Ví dụ 2: Tính diện tích phần mặt trụ
Phần mặt trụ được giới hạn bởi x^2 + y^2 = 4 và x^2 + z^2 = 4.
Ta tính diện tích phần mặt trụ trong góc x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0:
Diện tích cần tính là S = 8∫∫D(4 – x^2 – z^2)dxdz = 320.
Ví dụ 3: Tính diện tích phần mặt nón
Phần mặt nón được giới hạn bởi phương trình z^2 = x^2 + y^2 và được cắt bởi 4 mặt phẳng y – x = 1, y + x = 1, y – x = -1, y + x = -1.
Diện tích cần tính là S = 2∫∫D(1 + x^2 + y^2)dxdy = 8√2.
Kết luận
Tính diện tích mặt cong là một trong những vấn đề quan trọng trong hình học và toán học tổ hợp. Bằng cách sử dụng phương pháp tích phân kép, chúng ta có thể xác định diện tích mặt cong một cách chính xác và nhanh chóng.
