Hàm số bậc 3 luôn là một bài toán thú vị và phức tạp trong toán học. Bài toán này yêu cầu tìm giá trị của tham số m để hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu theo điều kiện đã cho.
Phương pháp tìm giá trị của m
Bước 1:
Đầu tiên, chúng ta cần tính đạo hàm của hàm số, ký hiệu là y’. Với hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0, a, b, c, d là các tham số), ta có đạo hàm y’ = 3ax2 + 2bx + c. Khi đó, ta cần giải phương trình y’ = 0 để tìm các nghiệm của đạo hàm.
Điều kiện để hàm số có cực đại hoặc cực tiểu là đạo hàm bằng 0 và có hai nghiệm phân biệt. Chúng ta có thể viết lại phương trình y’ = 0 dưới dạng sau:
3ax2 + 2bx + c = 0 (phương trình 1)
Bước 2:
Tiếp theo, ta sẽ tìm ra các giá trị của tham số m dựa trên điều kiện đã cho. Thông qua phương trình (1), ta có thể suy ra một phương trình hoặc bất phương trình theo tham số m. Sau khi giải phương trình này, ta có thể so sánh với điều kiện đã cho và kết luận.
Dưới đây là một số điều kiện thường gặp:
- Để hàm số y = f(x) có 2 cực trị, ta cần thỏa mãn các điều kiện: a ≠ 0 và Δy’ > 0.
- Để hàm số y = f(x) có 2 cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành, ta cần thỏa mãn điều kiện: yCD.yCT < 0.
- Để hàm số y = f(x) có 2 cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung, ta cần thỏa mãn điều kiện: xCD.xCT < 0.
- Để hàm số y = f(x) có 2 cực trị nằm phía trên trục hoành, ta cần thỏa mãn các điều kiện: yCD + yCT > 0 và yCD.yCT > 0.
- Để hàm số y = f(x) có 2 cực trị nằm phía dưới trục hoành, ta cần thỏa mãn các điều kiện: yCD + yCT < 0 và yCD.yCT < 0.
- Để hàm số y = f(x) có cực trị tiếp xúc với trục hoành, ta cần thỏa mãn điều kiện: yCD.yCT = 0.
- Đồ thị có 2 điểm cực trị khác phía đối với đường thẳng d: Ax +By +C = 0.
Ví dụ minh họa
Dưới đây là một số ví dụ minh họa để đem đến cho bạn cái nhìn rõ hơn về cách tìm giá trị m để hàm số có cực trị:
Chú ý: Khi thay đường thẳng hoặc đường tròn vào bài toán, chúng ta vẫn có thể áp dụng kết quả tìm được trước đó. Các kết quả khác tùy thuộc vào điều kiện cụ thể mà chúng ta có thể áp dụng.
