Dấu tam thức bậc hai là một chủ đề quan trọng trong Đại số và Giải tích ở cấp THPT. Từ định lí về dấu tam thức bậc hai, chúng ta có thể giải các phương trình, bất phương trình tích, phương trình chứa căn, giải bất phương trình chứa căn. Bên cạnh đó, chúng ta cũng có thể suy ra cách giải bài toán tìm điều kiện của tham số để tam thức bậc 2 luôn dương, luôn âm với mọi số thực.
Tìm điều kiện để tam thức bậc hai luôn dương, luôn âm
Bài toán 1: Tìm điều kiện để tam thức bậc hai luôn dương
Cho tam thức bậc hai (f(x) = ax^2 + bx + c), ta cần tìm điều kiện của tham số a để tam thức luôn dương với mọi số thực x. Để giải quyết bài toán này, chúng ta xét hai trường hợp:
- Khi a = 0: Ta kiểm tra giá trị của f(x) khi a = 0. Nếu f(x) thỏa mãn yêu cầu bài toán, ta tìm được điều kiện cho bài toán.
- Khi a ≠ 0: Khi đó, f(x) là tam thức bậc hai. Để tam thức luôn dương với mọi số thực x, ta cần thỏa điều kiện [a > 0 và Delta < 0].
Tương tự, chúng ta có thể giải các bài toán tương tự như sau:
Bài toán 2: Tìm điều kiện để tam thức bậc hai luôn âm
Cho tam thức bậc hai (f(x) = ax^2 + bx + c), ta cần tìm điều kiện của tham số a để tam thức luôn âm với mọi số thực x. Để giải quyết bài toán này, chúng ta xét hai trường hợp:
- Khi a = 0: Ta kiểm tra giá trị của f(x) khi a = 0. Nếu f(x) thỏa mãn yêu cầu bài toán, ta tìm được điều kiện cho bài toán.
- Khi a ≠ 0: Khi đó, f(x) là tam thức bậc hai. Để tam thức luôn âm với mọi số thực x, ta cần thỏa điều kiện [a < 0 và Delta < 0].
Bài toán 3: Tìm điều kiện để tam thức bậc hai có nghiệm đúng với mọi số thực
Cho tam thức bậc hai (f(x) = ax^2 + bx + c), ta cần tìm điều kiện của tham số a để tam thức có nghiệm đúng với mọi số thực x. Để giải quyết bài toán này, chúng ta xét hai trường hợp:
- Khi a = 0: Ta kiểm tra giá trị của f(x) khi a = 0. Nếu f(x) thỏa mãn yêu cầu bài toán, ta tìm được điều kiện cho bài toán.
- Khi a ≠ 0: Khi đó, f(x) là tam thức bậc hai. Để tam thức có nghiệm đúng với mọi số thực x, ta cần thỏa điều kiện [a > 0 và Delta ≤ 0].
Bài toán 4: Tìm điều kiện để tam thức bậc hai vô nghiệm
Cho tam thức bậc hai (f(x) = ax^2 + bx + c), ta cần tìm điều kiện của tham số a để tam thức vô nghiệm với mọi số thực x. Để giải quyết bài toán này, chúng ta xét hai trường hợp:
- Khi a = 0: Ta kiểm tra giá trị của f(x) khi a = 0. Nếu f(x) thỏa mãn yêu cầu bài toán, ta tìm được điều kiện cho bài toán.
- Khi a ≠ 0: Khi đó, f(x) là tam thức bậc hai. Để tam thức vô nghiệm với mọi số thực x, ta cần thỏa điều kiện [a < 0 và Delta ≤ 0].
Ví dụ: Tìm điều kiện để hàm số f(x) = 3x^2 + x + m + 1 luôn dương với mọi số thực x. Để giải quyết bài toán này, ta xét các điều kiện như sau:
- Khi a ≠ 0: Ta kiểm tra giá trị của Delta = -12m – 11. Để tam thức luôn dương với mọi số thực x, ta cần thỏa điều kiện a > 0 và Delta < 0. Từ đó, tìm được đáp số cho bài toán là (m < -11/12).
Ví dụ: Tìm điều kiện để biểu thức (m-1)x^2 + (2m+1)x + m + 1 luôn dương với mọi số thực x. Để giải quyết bài toán này, ta xét hai trường hợp:
- Khi m = 1: Ta kiểm tra giá trị của biểu thức. Nếu biểu thức thỏa mãn yêu cầu bài toán, ta tìm được điều kiện cho bài toán.
- Khi m ≠ 1: Ta kiểm tra giá trị của Delta’ = m^2 + 3(m-1). Để biểu thức luôn dương với mọi số thực x, ta cần thỏa điều kiện m > 1 và Delta’ ≤ 0. Từ đó, tìm được đáp số cho bài toán là (m > 1).
Với những bài toán tìm điều kiện để bất phương trình luôn đúng hoặc vô nghiệm, chúng ta có thể sử dụng những kết quả đã được trình bày ở phần trước. Bắt đầu từ bài toán đã xét, chúng ta có thể áp dụng các lập luận sau:
- Bất phương trình f(x) > 0 vô nghiệm tương đương với f(x) ≤ 0 với mọi số thực x.
- Bất phương trình f(x) < 0 vô nghiệm tương đương với f(x) ≥ 0 với mọi số thực x.
- Bất phương trình f(x) ≥ 0 vô nghiệm tương đương với f(x) < 0 với mọi số thực x.
- Bất phương trình f(x) ≤ 0 vô nghiệm tương đương với f(x) > 0 với mọi số thực x.
Như vậy, chúng ta đã có cách giải quyết cho một số bài tập đơn giản liên quan đến tìm điều kiện để bất phương trình luôn đúng hoặc vô nghiệm.
Nếu bạn muốn tìm hiểu thêm về các dạng toán này, hãy xem video bài giảng dưới đây:
