Tìm điểm M thuộc P sao cho u = ma + mb + mc có u min nhỏ nhất

Bài toán này yêu cầu tìm điểm M thuộc mặt phẳng P sao cho vector u = ma + mb + mc đạt giá trị nhỏ nhất.

Phương pháp giải

Đầu tiên, ta tìm điểm I thỏa mãn phương trình aIB + bIB + cIC = 0. Tọa độ của điểm I được tính bằng công thức sau:

• x1 = (axA + bxB + cxC) / (a + b + c)
• y1 = (ayA + byB + cyC) / (a + b + c)
• z1 = (azA + bzB + czC) / (a + b + c)

Tiếp theo, ta phân tích vector u = ma + mb + mc thành (a + b + c) * MI. Khi đó, |u| đạt giá trị min nhất khi M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng P.

Để viết phương trình đường thẳng IM đi qua I và vuông góc với P, ta có vector uIM = vector n(P).

Khi đó, M = (P) ∩ (IM).

Bài tập cực trị oxyz có đáp án chi tiết

Bài tập 1: Cho các điểm A(2,1,-1), B(0,3,1) và mặt phẳng (P): x + y – z + 3 = 0. Tìm điểm M thuộc (P) sao cho

a) |MA + MB| min.
b) |2MA – MB| min.

Lời giải chi tiết:
a) Gọi I(1,2,0) là trung điểm của AB thì |IA + IB| = 0.

Ta có: |MA + MB| = |2MI| nhỏ nhất khi M là hình chiếu của điểm I trên (P).

Phương trình đường thẳng MI là:

• x = 1 + t
• y = 2 + t
• z = -t

Cho M ∈ (P) ⇒ 1 + t + 2 + t – t + 3 = 0 ⇒ t = -2 ⇒ M(-1,0,2).

b) Gọi I là điểm thỏa mãn 2IA – IB = 0.
Cho M ∈ (P) ⇒ M(1, -4, 0).

Bài tập 2: Cho các điểm A(1,0,-1), B(2,-2,1), C(0,-1,0) và mặt phẳng (P): x – 2y + 2z + 6 = 0. Tìm điểm M thuộc (P) sao cho

a) |MA + MB + MC| min.
b) |2MA – 4MB + 3MC| min.

Lời giải chi tiết:
a) Gọi G(0,1,-2) là trọng tâm tam giác ABC thì GA + GB + GC = 0.

Ta có: |MA + MB + MC| = 3MG nhỏ nhất khi M là hình chiếu của G trên mặt phẳng (P).

Phương trình đường thẳng MG là:

• x = t
• y = -1 – 2t
• z = -2 + 2t

Cho M ∈ (P) ⇒ t + 4t – 2 + 4t – 4 + 6 = 0 ⇒ t = 0 ⇒ M(0, 1, -2).

b) Gọi I là điểm thỏa mãn 2IA – 4IB + 3IC = 0.

Phương trình đường thẳng MI là:

• x = -6 + t
• y = 5 – 2t
• z = -6 + 2t

Cho M ∈ (P) ⇒ -6 + t + 4t – 10 + 4t – 12 + 6 = 0 ⇒ t = -3 ⇒ M(1, -4, 0).

Bài tập 3: Cho các điểm A(4,1,-1), B(2,3,-2), C(6,3,-12) và mặt phẳng (P): x + 2y – z + 1 = 0. Tìm điểm M thuộc (P) sao cho |2MA + 3MB – MC| min. Độ dài đoạn thẳng OM là:

Lời giải chi tiết:
Gọi I là điểm thỏa mãn 2IA + 3IB – IC = 0 ⇒ I(1,1,2).

Khi đó MA + 3MB – MC = 4MI.

Khi đó |2MA + 3MB – MC| nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P).

Ta có:

• Phương trình đường thẳng MI:
  • x = 2 + t
  • y = 2 + 2t
  • z = 1 – t

Cho M ∈ (P) ⇒ 2 + t + 4t + 4 + t – 1 + 1 = 0 ⇒ t = -1 ⇒ M(1,0,2) ⇒ OM = √5.

Bài tập 4: Trong không gian tọa độ Oxyz cho tam giác ABC có A(-1,2,3), B(3,0,-1), C(1,4,7) và mặt phẳng (P): x – 2y + 2z + 6 = 0. Gọi M(a,b,c) là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA^2 + MB^2 + MC^2 nhỏ nhất. Giá trị của biểu thức T = a^2 + b^2 + c^2 là.

Lời giải chi tiết:
Gọi G(1,2,3) là trọng tâm tam giác ABC thì GA + GB + GC = 0.

Ta có: MA^2 + MB^2 + MC^2 = 3MG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2 nhỏ nhất khi M là hình chiếu của G trên mặt phẳng (P).

Phương trình đường thẳng MG là:

• x = t
• y = -1 – 2t
• z = -2 + 2t

Cho M ∈ (P) ⇒ t + 4t + 4 + t – 1 + 1 = 0 ⇒ t = 0 ⇒ M(0,1,-2) ⇒ T = 10.

Bài tập 5: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(0,-3,1), B(2,7,1) và C(1,0,3) và có phương trình x + y – z – 3 = 0. Gọi M(a,b,c) trên (P) sao cho |MA + MB + 2MC| nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức T = a + 2b – 3c.

Lời giải chi tiết:
Gọi I là điểm thỏa mãn |IA + IB| = 0 ⇒ I(1,1,2).

Khi đó MA + MB + 2MC = 4MI.

Khi đó |MA + MB + 2MC| nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P).

Ta có:

• Phương trình đường thẳng MI:
  • x = 1 + t
  • y = 1 + 2t
  • z = 2 – t

Cho M ∈ (P) ⇒ 1 + t + 2 + 2t – 2 + 3 = 0 ⇒ t = -1 ⇒ M(1,0,2) ⇒ T = 4.

Với các bài tập trên, ta đã tìm được các giá trị tương ứng của T.