Tìm miền xác định của hàm số y = ln(ln x)

Hàm số bất phương trình mũ và logarit đôi khi gây khó khăn cho việc giải quyết vì tính phức tạp của chúng. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về miền xác định của hàm số y = ln(ln x).

Bất phương trình mũ

Bất phương trình mũ cơ bản

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng ax > b (hoặc ax < b; ax≥b; ax≤b) với a > 0 và a ≠ 1. Chúng ta xét bất phương trình ax > b:

Nếu b ≤ 0, tập nghiệm của bất phương trình là R vì ax > 0 ≥ b; ∀x∈⁢R.
Nếu b > 0, tập nghiệm của bất phương trình tương đương ax > loga⁡b.

Với a > 1, tập nghiệm của bất phương trình là x > logab. Với 0 < a < 1, tập nghiệm của bất phương trình là x < logab.

Ví dụ:

a) 5x > 125 ⇔ x > log5125 ⇔ x > 3.

b) (13)x > 27 ⇔ x < log13⁡27 ⇔ x < -3.

Tập nghiệm của bất phương trình ax > b được cho trong bảng sau:

ax > b	Tập nghiệm
a > 1	0 < a < 1
0 < a < 1	b ≤ 0
b > 0	(loga⁡b;+∞)
b > 0	(-∞;loga⁡b)

Bất phương trình mũ đơn giản

Ví dụ:

Giải bất phương trình 3x + 2 < 27.

Lời giải:

Ta có: 27 = 33.

Vì cơ số 3 > 1, nên x + 2 < 3 ⇔ x < 1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là x < 1.

Bất phương trình logarit

Bất phương trình logarit cơ bản

Bất phương trình logarit cơ bản có dạng loga x > b (hoặc logax < 0; loga⁡x≤0; loga⁡x≥0) với a > 0; a ≠ 1. Chúng ta xét bất phương trình logax > b:

Trường hợp a > 1: logax > b ⇔ x > ab.
Trường hợp 0 < a < 1: logax > b ⇔ 0 < x < ab.
Ví dụ:

a) log2x > 7 ⇔ x > 27.

b) log25⁡x < 3 ⇔ x > (25)3.

Nghiệm của bất phương trình logax > b được cho trong bảng sau:

logax > b	Nghiệm
a > 1	0 < a < 1
0 < a < 1	x > ab

Bất phương trình logarit đơn giản

Ví dụ:

Giải bất phương trình log3⁡(x2+2⁢x) > log3⁡(x+2).

Lời giải:

Điều kiện của bất phương trình:

{x2+2x > 0; x + 2 > 0 ⇔ x > 0.

Ta có: log3⁡(x2+2⁢x) > log3⁡(x+2).

Vì cơ số 3 > 1, nên: x2 + 2x > x + 2 ⇔ x2 + x – 2 > 0 ⇔ (x > 1) và (x < -2).

Kết hợp điều kiện, vậy x > 1.