Bài ôn tập môn Toán lớp 12 học kỳ 1

Học kỳ 1 đã đến gần và chúng ta cần ôn tập các kiến thức quan trọng trong môn Toán. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, các cực trị của hàm số, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, tiệm cận của đồ thị hàm số và bảng biến thiên của hàm số. Hãy cùng nhau tìm hiểu nhé!

Mục lục

1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Để hàm số đồng biến trên khoảng (a, b), ta cần thỏa mãn điều kiện: (f'(x) ≥ 0, ∀ x ∈ (a, b)).

Để hàm số nghịch biến trên khoảng (a, b), ta cần thỏa mãn điều kiện: (f'(x) ≤ 0, ∀ x ∈ (a, b)).

Cực trị của hàm số

Có hai quy tắc để tìm cực trị của hàm số.

Quy tắc 1: Dựa vào dấu hiệu 1

Để tìm cực trị của hàm số theo quy tắc này, ta thực hiện các bước sau:

Tính (y’).
Tìm các điểm tới hạn của hàm số, tức là các điểm mà tại đó (y’ = 0) hoặc (y’) không xác định.
Lập bảng xét dấu (y’) để kết luận.

Quy tắc 2: Dựa vào dấu hiệu 2

Để tìm cực trị của hàm số theo quy tắc này, ta thực hiện các bước sau:

Tính (f'(x), f”(x)).
Giải phương trình (f'(x) = 0) để tìm nghiệm.
Thay nghiệm vừa tìm vào (f”(x)) và kiểm tra, từ đó suy kết luận.

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, chúng ta có quy tắc sau:

Quy tắc chung:

Tính (f'(x)), giải phương trình (f'(x) = 0) tìm nghiệm trên đoạn (D).
Lập Bảng biến thiên cho hàm số trên đoạn (D).
Dựa vào Bảng biến thiên và định nghĩa từ đó suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Quy tắc riêng:

Cho hàm số (y = f(x)) xác định và liên tục trên đoạn ([a, b]).
Tính (f'(x)), giải phương trình (f'(x) = 0) tìm nghiệm trên đoạn ([a, b]).
Giả sử phương trình có nghiệm ({x_1},{x_2},… in [a, b]).
Tính các giá trị (f(a), f(b), f({x_1}), f({x_2}),…).
So sánh chúng và kết luận.

Tiệm cận của đồ thị hàm số

Để tìm tiệm cận của đồ thị hàm số, chúng ta có các quy tắc sau:

Đường thẳng (x = a) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (y = f(x)) nếu có một trong các điều kiện sau:
- (lim {x → a^+} y = +∞) hoặc (lim {x → a^+} y = -∞).
- (lim {x → a^-} y = +∞) hoặc (lim {x → a^-} y = -∞).
Đường thẳng (y = b) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (y = f(x)) nếu có một trong các điều kiện sau:
- (lim {x → +∞} y = b) hoặc (lim {x → -∞} y = b).

Bảng biến thiên và đồ thị hàm số

Để tìm bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số, chúng ta cần xem xét các dạng đồ thị hàm số bậc ba, bậc bốn trùng phương và các dạng đồ thị hàm số phân thức.

Các dạng đồ thị hàm số bậc ba

Các dạng đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương

Các dạng đồ thị hàm số phân thức

Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

Phương pháp:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính đạo hàm (f'(x)), tìm các điểm ({x_1},{x_2},…,{x_n}) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 3: Xét dấu đạo hàm và kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Dạng 2: Tìm giá trị của m để hàm số đơn điệu trên R

Phương pháp:

Bước 1: Tính (f'(x)).
Bước 2: Nêu điều kiện của bài toán:
- Hàm số (y = f(x)) đồng biến trên R ⇔ (y’ = f'(x) ≥ 0, ∀ x ∈ R) và (y’ = 0) tại hữu hạn điểm.
- Hàm số (y = f(x)) nghịch biến trên R ⇔ (y’ = f'(x) ≤ 0, ∀ x ∈ R) và (y’ = 0) tại hữu hạn điểm.
Bước 3: Từ điều kiện trên sử dụng các kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai để tìm (m).

Dạng 3: Tìm cực trị của hàm số

Có thể tìm cực trị của hàm số bằng hai quy tắc đã nêu ở trên.

Chú ý: Đối với các bài toán tìm cực trị của hàm số lượng giác, quy tắc 2 sẽ thuận tiện hơn và tránh việc xét dấu đạo hàm.

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện cho trước

Cho hàm số (f(x)) xác định và liên tục trên đoạn ([a, b]).

Phương pháp: (chỉ áp dụng cho một số bài toán dễ dàng tìm được nghiệm của (y’))

Bước 1: Tính (y’), giải phương trình (y’ = 0) tìm các nghiệm ({x_1},{x_2},…{x_n}).
Bước 2: Tính các giá trị (f(a), f({x_1}),…,f({x_n}), f(b)).
Bước 3: Biện luận theo tham số để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn ([a, b]).
Bước 4: Thay vào điều kiện bài toán để tìm (m).

Dạng 5: Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Bước 1: Tìm các điểm mà tại đó hàm số không xác định.
Bước 2: Tính các giới hạn (lim {x → +∞} y), (lim {x → -∞} y), (lim {x → x_0^+} y) và (lim {x → x_0^-} y).
Bước 3: Kết luận:
- Nếu có một trong 4 trường hợp (lim {x → x_0^+} y = +∞), (lim {x → x_0^+} y = -∞), (lim {x → x_0^-} y = +∞) hoặc (lim {x → x_0^-} y = -∞), thì (x = {x_0}) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
- Đường thẳng (y = {y_0}) được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (y = f(x)) nếu nó thỏa mãn một trong 2 điều kiện sau: (lim {x → +∞} y = {y_0}) hoặc (lim {x → -∞} y = {y_0}).

Dạng 6: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số phân thức có tiệm cận đứng

Phương pháp:

Bước 1: Tìm điều kiện để mẫu có nghiệm (nếu cần) và tính các nghiệm ({x_1},{x_2},…,{x_n}) của mẫu.
Bước 2: Nêu điều kiện để hàm phân thức có tiệm cận đứng:
- Hàm số có một (hai, ba,…) tiệm cận đứng nếu mẫu có một (hai, ba,…) nghiệm không là nghiệm của tử.
Bước 3: Thay các nghiệm ({x_1},{x_2},…,{x_n}) lên tử thức và biện luận dựa trên yêu cầu đề bài về số tiệm cận đứng.

Dạng 7: Sự tương giao của đồ thị hàm số

a) Tìm giao điểm của hai đồ thị hàm số:

Phương pháp:

Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng (F({x,m}) = 0) (phương trình ẩn (x) tham số (m)).
Cô lập (m) để đưa phương trình về dạng (m = f(x)).
Lập bảng biến thiên cho hàm số (y = f(x)).
Dựa vào giả thiết và bảng biến thiên từ đó suy ra (m).

b) Tương giao của đồ thị hàm số bậc ba:

Phương pháp 1: Bảng biến thiên (phương pháp đồ thị)

Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng (F({x,m}) = 0) (phương trình ẩn (x) tham số (m)).
Cô lập (m) để phương trình trở thành (m = f(x)).
Lập bảng biến thiên cho hàm số (y = f(x)).
Dựa vào biểu thức và bảng biến thiên từ đó suy ra (m).

Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc 2.

Lập phương trình hoành độ giao điểm (F({x,m}) = 0).
Nhẩm nghiệm: Giả sử (x = {x_0}) là một nghiệm của phương trình.
Phân tích: (F({x,m}) = 0 ⇔ (x – {x_0})g(x) = 0 ⇔ [x = {x_0} hoặc g(x) = 0] (g(x) là phương trình bậc 2 ẩn (x) tham số (m)).
Dựa vào yêu cầu bài toán để xử lý phương trình bậc 2 (g(x) = 0).

Dạng 8: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm.

Cho hàm số (y = f(x)) có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (M({x_0}, f({x_0}))) thuộc (C).

Phương pháp:

Bước 1: Tính (y’ = f'(x) ⟹ f'({x_0})).
Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến (y = f'({x_0}))(x – {x_0}) + f({x_0})).
Bước 3: Kết luận.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua một điểm.

Cho hàm số (y = f(x)) có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm (M({x_M}, {y_M})).

Phương pháp:

Bước 1: Tính (y’ = f'(x)).
Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ ({x_0}) của (C): (y = f'({x_0}))(x – {x_0}) + f({x_0}).
Bước 3: Thay tọa độ ({x_M}, {y_M}) vào phương trình trên, giải phương trình tìm ({x_0}).
Bước 4: Thay mỗi giá trị ({x_0}) tìm được vào phương trình tiếp tuyến để có được phương trình cần tìm.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số cho biết hệ số góc.

Cho hàm số (y = f(x)) có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết nó có hệ số góc (k).

Phương pháp:

Bước 1: Tính (y’ = f'(x)).
Bước 2: Giải phương trình (f'(x) = k) tìm nghiệm ({x_1},{x_2},…).
Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại các điểm ({x_1}, f({x_1})), ({x_2}, f({x_2})),…

Như vậy, đó là một số dạng toán thường gặp trong ôn tập môn Toán lớp 12 học kỳ 1. Hy vọng rằng bài viết này có thể giúp bạn ôn tập và nắm vững kiến thức. Chúc bạn thành công trong kỳ thi sắp tới!