Luyện tập tỉ số lượng giác của góc nhọn – Toán lớp 9

Bắt đầu học môn toán lớp 9, chúng ta đã được tiếp cận với kiến thức về lượng giác. Tỉ số lượng giác là một kiến thức quan trọng và khá khó, thường xuất hiện trong các bài kiểm tra của chúng ta, đặc biệt là trong các cuộc thi chuyển cấp. Vì vậy, việc nắm vững và thuộc lòng kiến thức về tỉ số lượng giác là vô cùng quan trọng.

Dưới đây là những bài tập tỉ số lượng giác của góc nhọn để các bạn luyện tập:

Bài 1: Chứng minh hai đẳng thức sau:

1. (cosα)^4 – (sinα)^4 = cos²α – sin²α
2. sin^4α + cos²α.sin²α + sin²α = 2sin²α

Hướng dẫn giải:

1. (cosα)^4 – (sinα)^4 = cos²α – sin²α
   VP = cos^4α – sin^4α = (cos²α)² – (sin²α)²
   = (cos²α – sin²α)(cos²α + sin²α)
   = (cos²α – sin²α).1 = cos²α – sin²α = VT

2. (sinα)^4 + cos²α.sin²α + sin²α = 2sin²α
   VP = (sinα)^4 + cos²α.sin²α + sin²α
   = sin²α.(sin²α + cos²α + 1)
   = sin²α.(1 + 1)
   = 2.sin²α = VT

Bài 2:

Cho cosα = 0,4. Tìm sin⁡α, tan⁡α, cot⁡α.

Hướng dẫn giải:

Bài 3:

Cho góc nhọn α và cosα – sinα = 1/5. Hãy tính cot⁡α.

Hướng dẫn giải:

Bài 4:

Cho biết tan⁡α + cot⁡α = 3. Tính sin⁡α.cosα

Hướng dẫn giải:

Bài 5:

Chứng minh hai đẳng thức sau:
a) (cosx)^4 – (sinx)^4 = cos²x – sin²x
b) (sinx)^4 + cos^2x.sin^2x + sin^2x = 2sin^2x

Hướng dẫn giải:
a) (cosx)^4 – (sinx)^4 = (cos²x – sin²x)(sin²x + cos²x)
= (cos²x – sin²x).1 = cos²x – sin²x

b) (sinx)^4 + cos^2x.sin^2x + sin^2x
= sin^2x(sin^2x + cos²x) + sin^2x
= sin^2x.1 + sin^2x = 2sin^2x

Bài 6:

Chứng minh giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của các góc nhọn α, β
a) cos²α.cos²β + cos²α.sin²β + sin²α
b) 2(sin⁡α – cos⁡α)² – (sin⁡α + cos⁡α)² + 6sin⁡α.cos⁡α
c) (tan⁡α – cot⁡α)² – (tan⁡α + cot⁡α)²

Hướng dẫn giải:
a) cos²α.cos²β + cos²α.sin²β + sin²α = cos²α(cos²β + sin²β) + sin²α
= cos²α.1 + sin²α
= 1

b) 2(sin⁡α – cos⁡α)² – (sin⁡α + cos⁡α)² + 6sin⁡α.cos⁡α
= 2(1 – 2sinα.cos⁡α) – (1 + 2sinα.cos⁡α) + 6sinα.cos⁡α
= 1 – 6sinα.cos⁡α + 6sinα.cos⁡α
= 1

c) (tan⁡α – cot⁡α)² – (tan⁡α + cot⁡α)²
= (tan²α – 2 tan⁡α.cotα + cot²α) – (tan²α + 2 tan⁡α.cotα + cot²α)
= -4 tan⁡α.cotα
= -4.1
= -4

Bài 7:

Rút gọn và tính biểu thức sau:
A = sin15° – sin60° + cos30° – cos75° + 5

Hướng dẫn giải:
A = sin15° – sin60° + cos30° – cos75° + 5
= (sin15° – cos75°) + (cos30° – sin60°) + 5
Áp dụng tính chất tỉ số lượng giác ta có:
15° + 75° = 90° ⇒ sin15° = cos75°
30° + 60° = 90° ⇒ sin60° = cos30°
⇒ (sin15° – cos75°) + (cos30° – sin60°) + 5
= 0 + 0 + 5
= 5

Bài 8:

Rút gọn và tính biểu thức sau:
A = sin²82° + cot24°.cot66° + cos²82°

Hướng dẫn giải:
A = sin²82° + cot24°.cot66° + cos²82°
= (sin²82° + cos²82°) + cot24°.cot66°
Áp dụng tính chất tỉ số lượng giác góc nhọn ta có:
sin²82° + cos²82° = 1
24° + 66° = 90° ⇒ cot66° = tan24°
⇒ cot24°.cot66° = tan24°.cot24° = 1
⇒ A = 1 + 1 = 2

Bài 9:

Cho hai góc nhọn β, α. Biết sinα = 0.7 và cosβ = √3/2. So sánh β và α.

Hướng dẫn giải:
sin²α + cos²α = 1
⇒ cos²α = 1 – sin²α
⇔ cosα = √(1 – sin²α)
⇔ cosα = √(1 – (0.7²))
⇒ cosα ≈ 0.714
Có cosα ≈ 0.714 < cosβ = √3/2 ≈ 0.866
⇒ β < α

Bài 10:

Cho hai góc nhọn, biết sinα = cosβ = 0.5. So sánh β và α.

Hướng dẫn giải:
sin²β + cos²β = 1
⇒ sin²β = 1 – cos²β
⇔ sinβ = √(1 – cos²β)
⇒ sinβ = √(1 – (0.5²)) ≈ 0.866
Ta có: sinα = 0.5 < sinβ ≈ 0.866
⇒ β > α

Bài 11:

Cho tam giác ABC với góc ABC bằng 90 độ. Có AC = 10cm, cosBAC = 1/2. Tính sinBAC và độ dài cạnh AB và BC.

Hướng dẫn giải:

Bài 12:

Cho tam giác ABC với góc BAC bằng 90 độ. Biết AB = 6cm, AC = 8cm. Tính sinABC, cosABC, tanABC, cotABC

Hướng dẫn giải:

Trên đây là những bài tập tỉ số lượng giác của góc nhọn với hướng dẫn giải dễ hiểu để các em học sinh có thể trải nghiệm. Hy vọng rằng thông qua bài viết này, các em đã nắm rõ được những công thức về tỉ số lượng giác và áp dụng vào bài tập dễ dàng. Đừng quên xem thêm nhiều kiến thức bổ ích tại hoctot.hocmai.vn các em nhé!