Phân biệt quy tắc cộng và quy tắc nhân

Quy tắc cộng và quy tắc nhân là hai quy tắc đếm cơ bản trong chương trình Đại số tổ hợp của lớp 11. Nhưng nhiều học sinh không phân biệt được khi nào dùng quy tắc nhân, khi nào dùng quy tắc cộng trong việc giải các bài tập. Chuyên đề này sẽ giúp ta phân biệt rõ và áp dụng đúng 2 quy tắc này.

Lý thuyết

1. Quy tắc nhân: Nếu một công việc nào đó phải hoàn thành qua n giai đoạn liên tiếp, trong đó:

   • Giai đoạn 1 có m1 cách thực hiện
   • Giai đoạn 2 có m2 cách thực hiện
   • …
   • Giai đoạn n có mn cách thực hiện

   Khi đó, có tổng cộng (m1 x m2 x … x mn) cách để hoàn thành công việc đã cho.

2. Quy tắc cộng: Nếu một công việc nào đó có thể thực hiện theo n phương án khác nhau, trong đó:

   • Phương án 1 có m1 cách thực hiện
   • Phương án 2 có m2 cách thực hiện
   • …
   • Phương án n có mn cách thực hiện

   Khi đó, có tổng cộng (m1 + m2 + … + mn) cách để hoàn thành công việc đã cho.

Nhận xét: Từ định nghĩa của quy tắc cộng và quy tắc nhân trên, ta thấy rằng:

• Nếu bỏ 1 giai đoạn nào đó mà ta không thể hoàn thành được công việc (không có kết quả) thì khi đó ta cần phải sử dụng quy tắc nhân.
• Nếu bỏ 1 giai đoạn nào đó mà ta vẫn có thể hoàn thành được công việc (có kết quả) thì khi đó ta sử dụng quy tắc cộng.

Như vậy, với nhận xét này, ta thấy rõ được sự khác biệt của 2 quy tắc và không thể nhầm lẫn việc dùng quy tắc cộng và quy tắc nhân được.

Bài tập

Bài 1: Từ các chữ số (0;1;2;3;4;5). Lập được bao nhiêu số tự nhiên trong mỗi trường hợp sau:

1. Số tự nhiên chẵn có 4 chữ số.
2. Số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau.

Lời giải:

1. Goi số tự nhiên thoả mãn yêu cầu bài toán là (abcd)

   • Chọn chữ số d có 3 cách chọn.
   • Chọn chữ số a có 5 cách chọn.
   • Chọn chữ số b có 5 cách chọn.
   • Chọn chữ số c có 5 cách chọn.

   Theo quy tắc nhân có: (3 x 5 x 5 x 5 = 375) (số).

2. Goi số tự nhiên thoả yêu cầu bài toán là (abcd)

   • Nếu d=0: Chọn chữ số d có 1 cách chọn. Chọn chữ số a có 5 cách chọn. Chọn chữ số b có 4 cách chọn. Chọn chữ số c có 3 cách chọn.

   Theo quy tắc nhân có: (1 x 5 x 4 x 3 = 60) (số). (*)

   • Nếu d≠0: Chọn chữ số d có 2 cách chọn. Chọn chữ số a có 4 cách chọn. Chọn chữ số b có 4 cách chọn. Chọn chữ số c có 3 cách chọn.

   Theo quy tắc nhân có: (2 x 4 x 4 x 3 = 96) (số). (**)

   Từ (*), (**) theo Quy tắc cộng ta có: (60 + 96 = 156) (số).

Bài 2: Bạn An có 5 bông hoa hồng khác nhau, 4 bông hoa cúc khác nhau, 3 bông hoa lan khác nhau. Bạn cần chọn ra 4 bông để cắm vào một lọ hoa, hỏi bạn có bao nhiêu cách chọn hoa để cắm sao cho hoa trong lọ phải có đủ cả loại.

Lời giải:

• Trường hợp 1: Chọn 2 bông hồng, 1 bông cúc, 1 bông lan.

  • Chọn 1 bông hồng thứ nhất có 5 cách chọn.
  • Chọn 1 bông hồng thứ hai có 4 cách chọn.
  • Chọn 1 bông cúc có 4 cách chọn.
  • Chọn 1 bông lan có 3 cách chọn.

  Theo quy tắc nhân, ta có: (5 x 4 x 4 x 3 = 240) cách (1).

• Trường hợp 2: Chọn 1 bông hồng, 2 bông cúc, 1 bông lan.

  • Chọn 1 bông hồng có 5 cách chọn.
  • Chọn 1 bông cúc thứ nhất có 4 cách chọn.
  • Chọn 1 bông cúc thứ hai có 3 cách chọn.
  • Chọn 1 bông lan có 3 cách chọn.

  Theo quy tắc nhân, ta có: (5 x 4 x 3 x 3 = 180) cách (2).

• Trường hợp 3: Chọn 1 bông hồng, 1 bông cúc, 2 bông lan.

  • Chọn 1 bông hồng có 5 cách chọn.
  • Chọn 1 bông cúc có 4 cách chọn.
  • Chọn 1 bông lan thứ nhất có 3 cách chọn.
  • Chọn 1 bông lan thứ hai có 2 cách chọn.

  Theo quy tắc nhân, ta có: (5 x 4 x 3 x 2 = 120) cách (3).

Từ (1), (2), (3), theo quy tắc cộng ta có: (240 + 180 + 120 = 540) cách.

Bài 3: Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9. Lập một số gồm 4 chữ số khác nhau từ các chữ số trên. Hỏi:
a. Có bao nhiêu số chẵn?
b. Có bao nhiêu số có mặt chữ số 1?

Lời giải:
a. Gọi số đã cho có dạng: (abcd)

• Chọn chữ số d có 3 cách chọn.
• Chọn chữ số a có 5 cách chọn.
• Chọn chữ số b có 5 cách chọn.
• Chọn chữ số c có 5 cách chọn.

Theo quy tắc nhân có: (3 x 5 x 5 x 5 = 375) số.

Như vậy, có 375 số chẵn.

b. Gọi số đã cho có dạng: (abcd)

• Chọn chữ số a có 5 cách chọn.
• Chọn chữ số b có 5 cách chọn.
• Chọn chữ số c có 5 cách chọn.
• Chọn chữ số d có 7 cách chọn.

Theo quy tắc nhân có: (5 x 5 x 5 x 7 = 875) số.

Như vậy, có 875 số có mặt chữ số 1.

Bài 4: Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ 4 bạn nữ và 6 bạn nam ngồi vào 10 ghế mà không có 2 bạn nữ nào ngồi cạnh nhau nếu a. Ghế sắp thành hàng ngang b. Ghế sắp quanh một bàn tròn.

Lời giải:
a. Đầu tiên xếp 6 bạn nam vào vị trí có (6!) cách sắp xếp. Xem mỗi bạn nữ là một vách ngăn tạo thành 7 vị trí. Xếp 4 bạn nữ vào 7 vị trí có (A_7^4) cách sắp xếp. Vậy có tổng cộng (6! x A_7^4) cách sắp xếp.

b. Đầu tiên xếp 6 bạn nam vào vị trí tròn có (5!) cách sắp xếp. Xem mỗi bạn nữ là một vách ngăn tạo thành 6 vị trí. Xếp 4 bạn nữ vào 6 vị trí có (A_6^4) cách sắp xếp. Vậy có tổng cộng (5! x A_6^4) cách sắp xếp.

Bài 5: Trong một tổ học sinh của lớp có 8 nam và 4 nữ. Thầy giáo muốn chọn ra 3 học sinh để làm trực nhật lớp học, trong đó phải có ít nhất một học sinh nam. Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách chọn.

Lời giải: Gọi (A) là tập tất cả các cách chọn 3 học sinh trong 12 học sinh. Gọi (B) là tập hợp tất cả các cách chọn 3 học sinh nữ. Gọi (C) là tập hợp tất cả các cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có: |C| = |A| – |B| (quy tắc cộng).

Mặt khác, dễ thấy |A| = C_12^3, |B| = C_4^3, nên |C| = (C_12^3 – C_4^3) = 216.

Vậy có 216 cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 6: Với tập (E = {1;2;3;4;5;6;7}) có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt và:
a) Là số chẵn.
b) Trong đó có chữ số 7.
c) Trong đó có chữ số 7 và chữ số hàng nghìn luôn là chữ số 1.

Lời giải:
a) Số cách chọn chữ số hàng nghìn: (7) cách.

Số cách chọn 4 chữ số còn lại trong tập E (loại bỏ chữ số 7): (A_6^4) cách.

Vậy số các số chẵn cần tìm là: (7 x A_6^4 = 7 x 360 = 2520) số.

b) Số cách chọn chữ số hàng nghìn: (7) cách.

Chọn vị trí cho chữ số 7: có 5 cách chọn.

Bốn vị trí còn lại nhận giá trị là một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ tập E (loại bỏ chữ số 7), do đó nó là một chỉnh hợp chập 4 của 6.

Suy ra có: (7 x A_6^4 = 7 x 360 = 2520) số có chữ số 7.

c) Gán (a_2 = 1) có 1 cách chọn.

Chọn vị trí cho chữ số 7 ⇒ có 4 cách chọn.

Ba vị trí còn lại nhận giá trị là một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ tập E (loại bỏ chữ số 7), do đó nó là một chỉnh hợp chập 3 của 5.

Suy ra có: (1 x 4 x A_5^3 = 1 x 4 x 60 = 240) số có chữ số 7 và chữ số hàng nghìn là chữ số 1.

Bài 7: Cho các số (0;1; 2; 3; 4; 5; 6; 7)
a) Có thể viết được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau? Trong đó có bao nhiêu số chẵn? Bao nhiêu số chia hết cho 5?
b) Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5?
c) Có bao nhiếu số có 4 chữ số khác nhau nhỏ hơn 4000.

Lời giải:
a) Số có 4 chữ số khác nhau.

• Số cách chọn chữ số hàng nghìn là: (8) cách.
• Số cách chọn 3 chữ số còn lại là: (A_8^3) cách.

Theo quy tắc nhân, ta có: (8 x A_8^3 = 8 x 336 = 2688) số.

Số chẵn: xem chữ số hàng đơn vị là (0;2;4;6).

• Nếu chữ số hàng đơn vị khác 0 thì số cách chọn là: (4 x A_7^3 = 4 x 210 = 840) số.
• Nếu chữ số hàng đơn vị là 0 thì số cách chọn là: (1 x A_7^3 = 1 x 210 = 210) số.

Theo quy tắc cộng, ta có: (840 + 210 = 1050) số chẵn.

Số chia hết cho 5: xem chữ số hàng đơn vị là (0;5).

• Nếu chữ số hàng đơn vị khác 0 thì số cách chọn là: (1 x A_7^3 = 1 x 210 = 210) số.
• Nếu chữ số hàng đơn vị là 0 thì số cách chọn là: (1 x A_7^3 = 1 x 210 = 210) số.

Theo quy tắc cộng, ta có: (210 + 210 = 420) số chia hết cho 5.

b) Số có 4 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5.

• Số cách chọn chữ số hàng nghìn là: (1) cách.
• Số cách chọn chữ số hàng trăm là: (1) cách.
• Số cách chọn chữ số hàng chục là: (1) cách.
• Số cách chọn chữ số hàng đơn vị là: (1) cách.

Theo quy tắc nhân, ta có: (1 x 1 x 1 x 1 = 1) số.

c) Số có 4 chữ số khác nhau nhỏ hơn 4000.

• Số cách chọn chữ số hàng nghìn là: (3) cách.
• Số cách chọn 3 chữ số còn lại là: (A_7^3) cách.

Theo quy tắc nhân, ta có: (3 x A_7^3 = 3 x 210 = 630) số.

Bài tập tự giải

Bài 1: Từ các chữ số (0, 2, 3, 4, 5, 7, 8)

1. Lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số.
2. Lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau.

Bài 2: Một tổ học sinh gồm 8 nam và 3 nữ, giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra 4 em để đi lao động, hỏi có bao nhiêu cách chọn, nếu:

1. Chọn học sinh nào cũng được.
2. Trong 4 học sinh được chọn, có duy nhất 1 học sinh nam.
3. Trong 4 học sinh được chọn, có ít nhất 1 học sinh nữ.
4. Trong 4 học sinh được chọn, có nhiều nhất 2 học sinh nam.
5. Trong số học sinh được chọn thì số nam luôn nhiều hơn số nữ.

Bài 3: Có bao nhiêu cách chia tập (A) gồm 10 phần tử thành 2 tập hợp con khác rỗng.

Bài 4: Có 20 học sinh, trong đó có 4 cặp sinh đôi. Chọn ra 3 học sinh sao cho không có cặp sinh đôi nào. Hỏi có bao nhiêu cách?

Bài 5: Một ngân hàng có 5 câu hỏi khó, 6 câu hỏi trung bình và 7 câu hỏi dễ. Hỏi có bao nhiêu đề thi, mỗi đề gồm 5 câu hỏi, sao cho:

1. Đề thi có 3 câu dễ, 1 câu trung bình và 1 câu khó.
2. Đề thi có 2 câu dễ, 2 câu trung bình và 1 câu khó.
3. Đề thi nhất thiết có đủ 3 loại câu hỏi và số câu hỏi dễ không ít hơn 2.

Bài 6: Tìm các số tự nhiên chia hết cho 2 và có 5 chữ số sao cho chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước.

Bài 7: Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số từ (1, 2, 3, 4, 5, 6), trong đó chữ số 1 và 6 có mặt 2 lần, các chữ số khác có mặt đúng 1 lần.

Bài 8: Có bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số, trong đó có ba chữ số lẻ khác nhau, 3 chữ số chẵn khác nhau mà mỗi chữ số chẵn có mặt đúng 2 lần.

Bài 9: Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau, sao cho 2 chữ số kề nhau không cùng là chữ số lẻ.

Bài 10: Cho (0, 1, …, 7). Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn; có 6 chữ số khác nhau và luôn có mặt chữ số 4.