Phép cộng và phép trừ hai véc-tơ: Tổng hiệu của hai véc-tơ

Phép cộng và phép trừ hai véc-tơ là những phép toán cơ bản trong toán học, được sử dụng cùng với phép nhân véc-tơ với một số thực và tích vô hướng của hai véc-tơ.

Trước khi chúng ta tìm hiểu về phép cộng và phép trừ hai véc-tơ, hãy nắm vững khái niệm về véc-tơ là gì và các kiến thức căn bản về véc-tơ.

Phép cộng véc-tơ (tổng của hai véc-tơ)

Phép cộng hai véc-tơ

Phép cộng hai véc-tơ 𝐚 và 𝐛 trong mặt phẳng được biểu diễn bằng công thức 𝐚 + 𝐛 = 𝐨𝐛, trong đó 𝐨𝐛 là véc-tơ tổng của hai véc-tơ 𝐚 và 𝐛.

Để tính tổng của hai véc-tơ, chúng ta có thể thực hiện theo các bước sau:

1. Chọn một điểm 𝑂 bất kỳ trong mặt phẳng.
2. Dựng véc-tơ 𝐴𝐵 = 𝐚 từ điểm 𝑂 đến điểm 𝐴.
3. Dựng véc-tơ 𝐵𝐶 = 𝐛 từ điểm 𝐴 đến điểm 𝐵.
4. Véc-tơ 𝐴𝐶 = 𝐨𝐛 được gọi là tổng của hai véc-tơ 𝐚 và 𝐛.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, hãy dựng các véc-tơ:

1. 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶,
2. 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶.

Hướng dẫn:

1. Lấy một điểm 𝑂 bất kỳ trong mặt phẳng. Lần lượt dựng các véc-tơ 𝑂𝑀 = 𝐴𝐵, 𝑀𝑁 = 𝐵𝐶, sau đó ta có 𝑂𝑁 = 𝐴𝐶.

Quy tắc ba điểm

Chúng ta có quy tắc ba điểm như sau:
Cho véc-tơ 𝐴𝐵, với một điểm 𝑀 tùy ý, ta luôn có 𝐴𝐵 = 𝐴𝑀 + 𝑀𝐵.

Tức là, để di chuyển một vật từ vị trí 𝐴 đến vị trí 𝐵, chúng ta có thể đi từ 𝐴 đến một điểm 𝑀 nào đó, rồi từ 𝑀 đi đến 𝐵. Quy tắc này cũng có thể mở rộng ra cho n điểm.

Lưu ý, phép cộng hai véc-tơ 𝐚 và 𝐛 là chúng ta thay thế (dựng) các véc-tơ đó bằng các véc-tơ lần lượt bằng 𝐚, 𝐛. Nhưng các véc-tơ mới này có đặc điểm là chúng nối tiếp nhau (điểm đầu của véc-tơ này lại là điểm cuối của véc-tơ kia).

Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD có cạnh dài 5 cm, hãy tính độ dài của các véc-tơ:

1. 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶,
2. 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷,
3. 𝐴𝐵 + 𝐷𝐶.

Hướng dẫn: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có:

1. 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶, nên suy ra |𝐴𝐵 + 𝐵𝐶| = |𝐴𝐶| = 𝐴𝐶 = 5√2 cm.
2. 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝑂 + 𝑂𝐷, dựng 𝑂𝐸 = 𝐶𝐷, thì 𝐵 là trung điểm 𝐴𝐸. Từ đó tìm được đáp án là 10 cm.
3. 𝐴𝐵 + 𝐷𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝑂𝐸 = 𝐴𝐸, với 𝑂𝐸 = 𝐷𝐶.

Phép trừ hai véc-tơ (Hiệu của hai véc-tơ)

Véc-tơ đối

Hai véc-tơ được gọi là véc-tơ đối nhau nếu chúng ngược hướng và có độ dài bằng nhau. Véc-tơ đối của 𝐚 được ký hiệu là -𝐚.

Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD, hãy chỉ ra một số cặp véc-tơ đối nhau.

Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD có tâm 𝑂, chứng minh rằng 𝑂𝐴 + 𝑂𝐵 + 𝑂𝐶 + 𝑂𝐷 = 𝐕𝐄𝐂𝟎.

Hiệu của hai véc-tơ

Hiệu của hai véc-tơ 𝐚 và 𝐛 là tổng của 𝐚 và véc-tơ đối của 𝐛, ký hiệu là 𝐚 – 𝐛 = 𝐚 + (-𝐛).

Ví dụ 3: Cho hình chữ nhật ABCD có 𝐴𝐵 = 3, 𝐴𝐷 = 4. Dựng và tính độ dài của các véc-tơ [𝐴𝐵 – 𝐴𝐷, 𝐶𝐴 – 𝐴𝐵].

Ví dụ 4: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và 𝐈 là trung điểm của 𝐁𝐶. Tính độ dài của các véc-tơ 𝐴𝐵 – 𝐴𝐶, 𝐵𝐴 – 𝐁𝐈.

Ví dụ 5: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng 𝐴𝐵 – 𝐶𝐷 = 𝐴𝐶 – 𝐵𝐷.

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC. Hãy xác định điểm M sao cho:

1. 𝑀𝐴 – 𝑀𝐵 + 𝑀𝐶 = 𝐕𝐸𝐶𝟎.
2. 𝑀𝐵 – 𝑀𝐶 + 𝐵𝐶 = 𝐕𝐸𝐶𝟎.
3. 𝑀𝐵 – 𝑀𝐶 + 𝑀𝐴 = 𝐕𝐸𝐶𝟎.

Hy vọng rằng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về phép cộng và phép trừ hai véc-tơ, các quy tắc và ví dụ đi kèm.