Cách viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn đơn giản – kiến thức Toán 10

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn là một khái niệm quan trọng trong môn Toán 10. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ về cách viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn một cách đơn giản và dễ hiểu.

Lý thuyết chung về phương trình tiếp tuyến đường tròn

Phương trình đường tròn có tâm I (a; b), bán kính R là:

Phương trình đường tròn có thể viết dưới dạng:

(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2

Trong đó:

• (a, b) là tọa độ tâm đường tròn
• R là bán kính đường tròn

Điều kiện để phương trình là phương trình đường tròn (C) khi và chỉ khi (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2.

Khi đó đường tròn (C) có tâm I (a; b) và bán kính R.

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Lý thuyết

Cho điểm A nằm trên đường tròn (C), tâm I (a; b). Gọi Δ là tiếp tiếp của (C) tại A.

Ta có: A thuộc Δ và vectơ OA là vectơ pháp tuyến của Δ.

Do đó phương trình của Δ là:

(x - a) * OA.x + (y - b) * OA.y = 0

Vậy phương trình này là phương trình tiếp tuyến của đường tròn (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 tại điểm A nằm trên đường tròn.

Phương pháp giải

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm thuộc đường tròn

Ta dùng công thức tách đôi tọa độ:

• Nếu phương trình đường tròn là: (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 thì phương trình tiếp tuyến là: (x - a) * (x0 - a) + (y - b) * (y0 - b) = R^2

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm ngoài đường tròn

Viết phương trình của đường thẳng (Δ) qua điểm M(x0; y0):

(x - x0) * OA.x + (y - y0) * OA.y = 0

Cho khoảng cách từ tâm I của đường tròn tới đường thẳng (Δ) bằng R, ta tính được m; thay m vào phương trình ta được phương trình tiếp tuyến.

Chú ý: Ta luôn tìm được hai đường tiếp tuyến.

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến song song với phương cho sẵn có hệ số góc k

Phương trình của (Δ) có dạng: y = kx + m (m chưa biết) ⇔ kx - y +m = 0

Cho khoảng cách từ tâm I đến (D) bằng R, ta tìm được m.

Chú ý: Ta luôn tìm được hai đường tiếp tuyến.

Ví dụ bài tập viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Ví dụ 1: Cho đường tròn (C): (x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm A(3;-4)

Hướng dẫn giải:

Đường tròn (C) có tâm I(1; -2)

Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn tại điểm A(3; -4) nên đường thẳng d vuông góc với đường thẳng IA.

• Phương trình đường thẳng (d): 2(x - 3) - 2(y + 4) = 0
• Phương trình (d) là: 2x - 2y - 14 = 0 hoặc x - y - 7 = 0

Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn (x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4, biết tiếp tuyến đi qua điểm B(4; 6)

Hướng dẫn giải:

• Đường tròn (C) có tâm I( 2; 2) và bán kính R = 22 + 22 – 4 = 2
• Tiếp tuyến ∆: x - 4 = 0 hoặc 3x + 4y - 36 = 0

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là x - 4 = 0 và 3x + 4y - 36 = 0

Ví dụ 3: Cho đường tròn (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4. Phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng d : 2x + y + 7 = 0 là?

Hướng dẫn giải:

Do tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng d: 2x + y + 7 = 0 nên phương trình tiếp tuyến có dạng ∆: 2x + y + m = 0 với m ≠ 7.

Đường tròn (C) có tâm I( 3; -1) và bán kính R = 5.

Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (C) khi |2.3-1+m|5 = 5 ⇔ |5 + m| = 5

Vậy ∆1 : 2x + y = 0, ∆2 : 2x + y - 10 = 0

Bài viết đã tổng hợp toàn bộ lý thuyết và phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn trong chương trình Toán 10. Hy vọng rằng sau bài viết này, các em học sinh sẽ tự tin vượt qua các dạng bài tập liên quan đến kiến thức về phương trình tiếp tuyến.