Tìm hiểu về Nghiệm Phức của Phương Trình Bậc Hai Hệ Số Thực

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về lý thuyết, các dạng toán và phương pháp giải liên quan đến nghiệm phức của phương trình bậc hai hệ số thực. Những kiến thức này sẽ giúp chúng ta hiểu rõ hơn về tính chất và cách thức tìm nghiệm của phương trình bậc hai.

Vấn đề 1: Lý thuyết nghiệm phức của phương trình bậc hai hệ số thực

Xét trên tập số phức, phương trình bậc hai hệ số thực $az^2+bz+c=0$ (với $a,b,c in mathbb{R}$ và $a neq 0$) luôn có hai nghiệm phức $z_1,z_2$ (không nhất thiết phân biệt). Định lí vi – ét cho phương trình bậc hai này là $z_1 + z_2 = -frac{b}{a}$ và $z_1z_2 = frac{c}{a}$.

Định lí vi ét đảo cho phương trình bậc hai là $z^2 – Sz + P = 0$ với $S = z_1 + z_2$ và $P = z_1z_2$.

Công thức tổng quát cho nghiệm phương trình bậc hai là $z_{1,2} = frac{-b pm sqrt{Delta}}{2a}$ với $Delta = b^2 – 4ac$.

Nếu $Delta geq 0$, phương trình có hai nghiệm phức $z_1,z_2$ và các nghiệm này là các số thực.

Nếu $Delta < 0$, phương trình có hai nghiệm phức $z_1,z_2$ và các nghiệm này không là số thực. Khi đó, hai nghiệm luôn là liên hợp của nhau.

Vấn đề 2: Tìm nghiệm phức của phương trình bậc hai hệ số thực bằng MTCT và thực hiện tính toán liên quan đến hai nghiệm này

Với các phương trình nghiệm phức bậc hai hệ số thực cụ thể, chúng ta có thể sử dụng MTCT (Máy tính cầm tay) để tìm nghiệm.

Để lưu các nghiệm phức khi giải phương trình bậc 2, bậc 3, bậc bốn bằng MTCT, chúng ta thao tác như sau:

Bước 1: STO A (lưu nghiệm MTCT hiện ra vào biến nhớ A)

Bước 2: MENU 2

Với các phương trình hệ số lớn, chúng ta có thể kết hợp vận dụng vi – ét và tính chất đã đề cập trong phần lý thuyết Vấn đề 1 để tìm nghiệm.

Vấn đề 3: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm duy nhất, có hai nghiệm phân biệt, …

Phương trình có nghiệm duy nhất khi $Delta = 0$.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $Delta neq 0$.

Phương trình có nghiệm thực khi $Delta geq 0$.

Phương trình có nghiệm không là số thực khi $Delta < 0$.

Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt khi $Delta > 0$.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt không là số thực khi $Delta < 0$.

Vấn đề 4: Tìm điều kiện để phương trình có một nghiệm là $z_0$

Cách 1: Thay $z_0$ vào phương trình đã cho ta có: $az_0^2 + bz_0 + c=0$ (giải phương trình hoặc so sánh hai số phức bằng nhau).

Cách 2: Áp dụng khi $z_0=x+yi$ (với $x,y in mathbb{R}$ và $y neq 0$) khi đó phương trình có nghiệm thứ hai $overline{z_0}=x-yi$.

Theo vi – ét ta có $z_0 + overline{z_0} = 2x = -frac{b}{a}$ và $z_0 cdot overline{z_0} = left(x^2 + y^2right) = frac{c}{a}$.

Vấn đề 5: Các bài toán biện luận nghiệm phức của phương trình thoả mãn điều kiện cho trước

Phương pháp chung để thực hiện dạng toán này chúng ta sẽ chia thành 2 trường hợp chính:

TH1: $Delta geq 0 Rightarrow$ Các nghiệm phức $z_1,z_2$ là các số thực, tức $z_1=x;z_2=y$ (với $x,y in mathbb{R}$).

TH2: $Delta < 0 Rightarrow$ Các nghiệm phức $z_1,z_2$ không là số thực, tức $z_1=x+yi;z_2=overline{z_1}=x-yi$ (với $x,y in mathbb{R}$).

Ngoài ra trong một số bài toán cụ thể, chúng ta không cần chia trường hợp sẽ tìm được kết quả nhanh hơn.

VD: Điều kiện $z_1^2+z_2^2=2 Rightarrow left(z_1+z_2right)^2-2z_1z_2=2$ ta chỉ cần dùng vi – ét cho ngay kết quả.

Một số biểu thức đối xứng sử dụng được vi – ét:

$z_1^2+z_2^2=left(z_1+z_2right)^2-2z_1z_2$

$left(z_1-z_2right)^2=left(z_1+z_2right)^2-4z_1z_2$

$z_1^3+z_2^3=left(z_1+z_2right)^3-3z_1z_2left(z_1+z_2right)$

$left(|z_1|+|z_2|right)^2=|z_1|^2+|z_2|^2+2|z_1z_2|= frac{1}{2}left(|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2right)+2|z_1z_2|$

Một số bài toán tìm chính xác nghiệm thông qua công thức nghiệm trong Vấn đề 1 cho kết quả nhanh hơn.

VD: Phương trình $z^2+2az+5a^2=0$ tìm được $z_1=-a-2ai;z_2=-a+2ai$ đến đây thay vào yêu cầu bài toán sẽ cho kết quả nhanh hơn.

Ví dụ 1: Cho số phức $w$ biết rằng $z_1=w+2i$ và $z_2=2w-3$ là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực. Tính $T=|z_1|+|z_2|$.

A. $T=2sqrt{13}.$

B. $T=frac{10}{3}.$

C. $T=4sqrt{13}.$

D. $T=frac{2sqrt{97}}{3}.$

Giải. Đặt $w=x+yi$ ($x,y in mathbb{R}$) $Rightarrow z_1=w+2i=x+(y+2)i;z_2=2w-3=(2x-3)+2yi$

• Nếu $z_1,z_2 in mathbb{R} Leftrightarrow y+2=0;2y=0$ (vô nghiệm)

• Nếu $z_1,z_2 notin mathbb{R} Rightarrow z_1 = overline{z_2} Leftrightarrow left{ begin{gathered} x = 2x – 3 y + 2 = -2y end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} x = 3 y = -frac{2}{3} end{gathered} right.$

$Rightarrow T=|z_1|+|z_2|=2sqrt{x^2+(y+2)^2}=2sqrt{3^2+left(-frac{2}{3}+2right)^2}=frac{2sqrt{97}}{3}.$ Chọn đáp án D.

Ví dụ 2: Trên tập số phức, xét phương trình $z^2+2(m+3)z+16m=0$ ($m$ là tham số thực ). Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên của $m$ để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt $z_1,z_2$ thỏa mãn $|z_1+1|=|z_2+1|$. Tính tổng các phần tử của $S$.

A. $32.$

B. $33.$

C. $35.$

D. $30.$

Giải. Ta có $Delta’=(m+3)^2-16m$. Vì đề bài yêu cầu hai nghiệm phân biệt nên ta xét $Delta’ > 0;Delta’ < 0$.

TH1: Nếu $Delta’ > 0 Rightarrow z_1,z_2 in mathbb{R} Rightarrow left[ begin{gathered} z_1 + 1 = z_2 + 1 z_1 + 1 = -z_2 – 1 end{gathered} right.$

$Rightarrow left[ begin{gathered} z_1 = z_2 (L text{ không thỏa mãn}) z_1 + z_2 = -2 end{gathered} right. Rightarrow -2(m+3) = -2 Leftrightarrow m = -2$ (thoả mãn).

TH2: Nếu $Delta’ < 0 Rightarrow left((m+3)^2-16mright) < 0 Rightarrow 1 < m < 9 Rightarrow left[ begin{gathered} hfill hfill end{gathered} right.$

Kết hợp vi – ét ta có $sumlimits_{1 leq i_1 < i_2 < … < ik} {z{i1}z{i2}…z{ik}} = (-1)^k frac{a{n-k}}{a_n}$ với $k=1,2,…,n$.

Hay dùng nhất là $z_1+z_2+…+zn=-frac{a{n-1}}{a_n}$ và $z_1z_2…z_n=(-1)^nfrac{a_0}{a_n}$.

Nếu $P(z)$ có một nghiệm phức $z_1=x+yi$ thì sẽ có nghiệm $z_2=overline{z_1}=x-yi$.

Ví dụ 1: Biết trên tập số phức, phương trình $z^3+az^2+6z+b=0$ có 3 nghiệm $z_1,z_2,z_3$ trong đó $z_1=5+i$. Khi đó $|z_2|^2+|z_3|^2$ bằng

A. $28.$

B. $26.$

C. $30.$

D. $32.$

Giải. Các hệ số của phương trình đều là số thực nên khi phương trình có một nghiệm là $z_1=5+i$ thì nghiệm thứ hai là $z_2=overline{z_1}=5-i$.

Theo vi ét ta có $z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1=6 Rightarrow z_3(z_1+z_2)+z_1z_2=6$

$Leftrightarrow z_3[(5+i)+(5-i)]+(5+i)(5-i)=6 Leftrightarrow 10z_3+26=6 Leftrightarrow z_3=-2.$

Vậy $|z_2|^2+|z_3|^2=26+4=30.$ Chọn đáp án C.

Cách 2: Phương trình $z^3+az^2+6z+b=0$ có một nghiệm là $z_1=5+i$.

$Leftrightarrow (5+i)^3+a(5+i)^2+6(5+i)+b=0.$

$Leftrightarrow 110+74i+a(24+10i)+6(5+i)+b=0.$

$Leftrightarrow (140+24a+b)+(80+10a)i=0.$

$Leftrightarrow left{ begin{gathered} 140+24a+b=0 hfill 80+10a=0 hfill end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} a=-8 hfill b=52 hfill end{gathered} right..$

Phương trình $z^3-8z^2+6z+52=0$ có 3 nghiệm $z_1=5+i,z_2=5-i,z_3=-2$.

$Rightarrow a=-(z_1+z_2+z_3)=-12;b=z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1=84;c=-z_1z_2z_3=-208$

$Rightarrow T=|a+b+c|=|-12+84-208|=136.$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 3: Có bao nhiêu số nguyên $a$ để phương trình $z^2-(a-4)z+a^2-a=0$ có hai nghiệm phức $z_1;z_2$ thỏa mãn $|z_1+z_2|=|z_1-z_2|$.

A. $3.$

B. $4.$

C. $1.$

D. $2.$

Giải. Phương trình $z^2-(a-4)z+a^2-a=0$ có một nghiệm là $z_1=a-4i$.

$Leftrightarrow (a-4i)^2-(a-4)(a-4i)+(a-4)^2-a=0.$

$Leftrightarrow 140+24a+b+(80+10a)i=0.$

$Leftrightarrow left{ begin{gathered} 140+24a+b=0 hfill 80+10a=0 hfill end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} a=-8 hfill b=52 hfill end{gathered} right.$

Phương trình $z^2-8z+6z+52=0$ có 3 nghiệm $z_1=a-4i,z_2=a+4i,z_3=-2$.

$Rightarrow |z_1+z_2|=|a-4i+a+4i|=2a,|z_1-z_2|=|a-4i-a-4i|=8.$

Nếu $|z_1+z_2|=|z_1-z_2|$ thì $2a=8 Leftrightarrow a=4$.

Vậy số nguyên $a$ thỏa mãn là $a=4$.