Tổng quan về giải hệ phương trình
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát: a1x+b1y=c1, a2x+b2y=c2 (a1, b1 khác 0, a2, b2 khác 0).
- Nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là cặp số (x, y) sao cho x và y là nghiệm của cả hai phương trình.
Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn
- Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát: a1x+b1y+c1z=d1, a2x+b2y+c2z=d2, a3x+b3y+c3z=d3 (a1, b1, c1 khác 0, a2, b2, c2 khác 0, a3, b3, c3 khác 0).
- Nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn là bộ ba số (x, y, z) sao cho x, y và z là nghiệm của cả ba phương trình.
Phương pháp giải
-
Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ba ẩn, ta thường sử dụng:
- Phương pháp thế: Rút một ẩn theo ẩn còn lại trong một phương trình của hệ và thế vào phương trình còn lại, thu được hệ mới với một phương trình một ẩn. Giải phương trình một ẩn để suy ra nghiệm của hệ.
- Phương pháp cộng đại số: Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong các phương trình bằng nhau hoặc đối nhau. Áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0. Giải phương trình một ẩn để suy ra nghiệm của hệ đã cho.
-
Tổng quát: Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để quy về giải hệ phương trình có ít ẩn số hơn. Có thể áp dụng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế như giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Các công thức
-
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: a1x+b1y=c1, a2x+b2y=c2 (a1, b1 khác 0, a2, b2, c2 khác 0). Có các trường hợp sau:
- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi a1a2 khác b1b2.
- Hệ phương trình vô nghiệm khi a1a2 bằng b1b2 khác c1c2.
- Hệ phương trình có vô số nghiệm khi a1a2 bằng b1b2 bằng c1c2.
-
Phương pháp thế: (với điều kiện các phương trình có nghĩa)
a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2⇔y=c1−a1xb1a2x+b2y=c2⇔y=c1−a1xb1a2x+b2c1−a1xb1=c2 -
Phương pháp cộng đại số:
a. Quy tắc cộng đại số gồm hai bước:- Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới.
- Bước 2: Dùng phương trình mới đó thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình còn lại).
b. Tóm tắt cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số: - Bước 1: Nhân từng vế của hai phương trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.
- Bước 2: Áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn).
- Bước 3: Giải phương trình một ẩn để suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Ví dụ minh họa
Bài 1: Cho hệ phương trình 2mx+3y=m, 4x+6y=10. Tìm m thỏa mãn các yêu cầu sau:
a) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
b) Hệ phương trình có vô số nghiệm.
c) Hệ phương trình vô nghiệm.
Lời giải:
a) Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
⇔ 2m4 ≠ 36
⇔ m2 ≠ 12
⇔ m ≠ 1
Vậy khi m ≠ 1 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
b) Hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm
⇔ 2m4 = 36 = 10
⇔ m = 1 = 5
⇔ m ∉ ∅
Vậy không tồn tại m để hệ đã cho có vô số nghiệm.
c) Hệ phương trình đã cho vô nghiệm
⇔ 2m4 = 36 ≠ 10
⇔ m = 1 ≠ 5
Vậy khi m = 1 thì hệ đã cho vô nghiệm.
Bài 2: Giải hệ phương trình 3x+y=4, 2x-3y=5 theo hai cách.
Lời giải:
Cách 1:
3x+y=42x-3y=5
⇔ y=4-3x2x-3y=5
⇔ y=4-3x2x-3(4-3x)=5
⇔ y=4-3x2x-12+9x=5
⇔ y=4-3x11x=17
⇔ y=4-3xx=1711
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x;y=1711;-711.
Cách 2:
3x+y=42x-3y=5
⇔ (-2).3x+(-2).y=(-2).43.2x-3.3y=3.5
⇔ -6x-2y=-8-11y=7
⇔ -6x-2y=-8
⇔ y=-711
⇔ -6x-2.(-711)=-8
⇔ x=1711
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x;y=1711;-711.
Bài 3: Giải hệ phương trình x+2y+z=3, 2x-7y=6, x-z=3.
Lời giải:
Ta có: x+2y+z=3, 2x-7y=6, x-z=3
⇔ 2y-z=-1, x+4y=2, y=1+z (Thế từ x-z=3 vào x+2y+z=3)
⇔ 2+2z-z=-1, x+4y=2, y=1+z
⇔ z=-3, x+4y=2, y=-2
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y; z) = {10; -2; -3}.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Giải hệ phương trình: x+3y=5, 2x-7y=6.
Bài 2: Giải hệ phương trình: x+3y+z=9, 2x-7y=6, x-z=3.
