Cách giải phương trình bậc 4 dễ hiểu nhất

Bạn đang gặp khó khăn trong việc giải phương trình bậc 4? Đừng lo, trong bài viết này, tôi sẽ chia sẻ với bạn 4 cách giải phương trình bậc 4 dễ hiểu nhất. Mỗi cách giải sẽ được đưa ra cùng với phương pháp giải chi tiết và bài tập vận dụng để bạn có thể nắm vững về cách giải phương trình bậc 4.

Mục lục

1. Cách giải phương trình trùng phương
2. Cách giải phương trình bậc bốn dạng ax^4 + bx^3 + cx^2 ± kbx + k^2a = 0
3. Cách giải phương trình bậc bốn bằng cách đặt t (dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = 0)
4. Cách giải phương trình bậc bốn bằng cách đặt t (dạng (x + a)^4 + (x + b)^4 = c)

Cách giải phương trình trùng phương

A. Phương pháp giải

Giải phương trình trùng phương bằng cách đặt x^2 = t (với điều kiện t ≥ 0), ta thu được phương trình bậc hai ẩn t: at^2 + bt + c = 0 (với a ≠ 0).
Giải phương trình bậc hai ẩn t.
Giải phương trình x^2 = t để tìm nghiệm.
Kết luận.

Biện luận số nghiệm của phương trình trùng phương:

Nếu phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt, thì phương trình sau khi đặt x^2 = t có 2 nghiệm dương phân biệt.
Nếu phương trình ban đầu có 3 nghiệm phân biệt, thì phương trình sau khi đặt x^2 = t có 1 nghiệm dương và một nghiệm t = 0.
Nếu phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt, thì phương trình sau khi đặt x^2 = t có 2 nghiệm trái dấu hoặc có nghiệm kép dương.
Nếu phương trình ban đầu có duy nhất 1 nghiệm, thì phương trình sau khi đặt x^2 = t có nghiệm kép x = 0 hoặc có một nghiệm x = 0 và một nghiệm âm.
Nếu phương trình ban đầu vô nghiệm, thì phương trình sau khi đặt x^2 = t cũng vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm.

B. Các ví dụ điển hình

Ví dụ 1: Số nghiệm của phương trình x^4 – 6x^2 + 8 = 0 là:

Lời giải:
Chọn D

Ví dụ 2: Phương trình x^4 + 2(m + 1)x^2 + m^2 = 0 vô nghiệm khi:

Lời giải:
Chọn B

Ví dụ 3: Cho phương trình x^4 – 2(m + 1)x^2 + 2m + 3 = 0 là tham số. Tìm số tự nhiên m nhỏ nhất để phương trình có bốn nghiệm phân biệt.

Lời giải:
Chọn A

C. Bài tập vận dụng

Bài 1: Phương trình x^4 – 8x^2 + 4 = 0 có tập nghiệm là:

Lời giải:

Đáp án B

Bài 2: Số nghiệm của phương trình (x^2 – 3x)^2 – 2x^2(1 – 3x) = 8 là:

Lời giải:

Đáp án B

Bài 3: Cho các phương trình:
Số nghiệm của các phương trình theo thứ tự là:

Lời giải:

Đáp án D

Bài 4: Chọn kết luận đúng về phương trình (1).

Lời giải:

Đáp án A

Bài 5: Cho phương trình m^2x^4 + x^2 – m^2 – 1 = 0 với m là tham số. Chọn khẳng định sai.

Lời giải:

Đáp án A

Bài 6: Phương trình có nghiệm là:

Lời giải:

Đáp án

Bài 7: Tìm m để phương trình (m + 1)x^4 + 5x^2 – m – 1 = 0. Tìm giá trị của m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt.

Lời giải:

Đáp án D

Bài 8: Cho phương trình x^4 – 13x^2 + m = 0 (1). Với giá trị của m để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt, ba nghiệm đó là:

Lời giải:

Đáp án C

Bài 9: Tìm m để phương trình x^4 + 2mx^2 + 8 = 0 có bốn nghiệm phân biệt sao cho tổng của bình phương các nghiệm bằng 32.

Lời giải:

Đáp án C

Bài 10: Điều kiện của a và b để phương trình x^4 – 2(a^2 + b^2)x^2 + (a^2 – b^2)^2 = 0 có ba nghiệm phân biệt là:

Lời giải:

Đáp án D

Cách giải phương trình bậc bốn dạng ax^4 + bx^3 + cx^2 ± kbx + k^2a = 0

A. Phương pháp giải

Vì x = 0 không là nghiệm của phương trình (1), ta chia cả hai vế của (1) cho x^2.
Thay vào phương trình (2) ta có:
Giải phương trình trên tìm t rồi sau đó tìm x.

B. Bài tập

Câu 1: Giải phương trình x^4 + 4 = 5x(x^2 – 2)

Giải:
Phương trình (1) ⇔ x^4 + 4 = 5x^3-10x ⇔ x^4 – 5x^3 + 10x + 4 = 0
Vì x = 0 không là nghiệm của phương trình (1), ta chia cả hai vế của (1) cho x^2.
Vậy phương trình có 2 nghiệm: x = 1, x = -4

Câu 2: Giải phương trình x^4 + 9 = 5x(x^2 – 3)

Giải:
Phương trình (1) ⇔ x^4 + 9 = 5x^3 – 15x ⇔ x^4 – 5x^3 + 15x + 9 = 0
Vì x = 0 không là nghiệm của phương trình (1), ta chia cả hai vế của (1) cho x^2.
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt x = -6 ± √5

Câu 3: Giải phương trình x^4 + 4 = -3x^3 – 6x

Giải:
Phương trình x^4 + 4 = -3x^3 – 6x ⇔ x^4 + 3x^3 + 6x + 4 = 0 (1)
Vì x = 0 không là nghiệm của phương trình (1), ta chia cả hai vế của (1) cho x^2.
Vậy phương trình vô nghiệm vì ∆ = (-1)^2 – 4.1.2 = -7 < 0

Câu 4: Giải phương trình x^4 + 4x^3 – 8x + 4 = 0 (1)

Giải:
Vì x = 0 không là nghiệm của phương trình (1), ta chia cả hai vế của (1) cho x^2.
Vậy phương trình có nghiệm kép x = -1

Câu 5: Giải phương trình x^4 + 5x^3 + 2x^2 – 35x + 49 = 0 (1)

Giải:
Vì x = 0 không là nghiệm của phương trình (1), ta chia cả hai vế của (1) cho x^2.
Thay vào (2) ta được: t^2 + 5t + 16 = 0
Phương trình trên có ∆ = 5^2 – 4.1.16 = 25 – 64 = -39 < 0 nên phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình (1) vô nghiệm

Cách giải phương trình bậc bốn bằng cách đặt t (dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = 0)

A. Phương pháp giải

Đặt t = (x + a)(x + b) ⇒ t = x^2 + (a + b)x + ab
t – ab = x^2 + (a + b)x
Biến đổi biểu thức (x + c)(x + d) theo biến t
Ta có: (x + c)(x + d) = x^2 + (c + d)x + cd = x^2 + (a + b)x + cd = t – ab + cd
Biến đổi phương trình (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m theo biến t
t(t – ab + cd) = m ⇔ t^2 + (- ab + cd)t – m = 0
Giải phương trình (*) tìm t sau đó tìm x

B. Bài tập

Câu 1: Giải phương trình (x + 4)(x + 5)(x + 7)(x + 8) = 4 (1)

Giải:
Đặt t = (x + 4)(x + 8) = x^2 + 12x + 32
(x + 5)(x + 7) = x^2 + 12x + 35 = t + 2
Với t = 1 ⇒ x^2 + 12x + 32 = 1 ⇔ x^2 + 12x + 31 = 0. Phương trình có ∆ = 5 > 0 nên có 2 nghiệm phân biệt: x = 1, x = -4
Với t = 4 ⇒ x^2 + 12x + 32 = 4 ⇔ x^2 + 12x + 36 = 0 ⇔ (x + 6)^2 = 0 ⇔ x = -6
Vậy phương trình có 3 nghiệm: x = 1, x = -4, x = -6

Câu 2: Giải phương trình (x + 4)(x + 5)(x – 1)(x – 2) = -21 (1)

Giải:
Đặt t = (x – 1)(x + 4) = x^2 + 3x – 4
(x + 6)(x – 2) = x^2 + 3x + 12 = t – 10
Với t = 3 ⇒ x^2 + 3x – 4 = 3 ⇔ x^2 + 3x – 7 = 0. Phương trình có ∆ = 17 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x = -6 ± √5
Với t = 7 ⇒ x^2 + 3x – 4 = 7 ⇔ x^2 + 3x – 11 = 0. Phương trình có ∆ = 45 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x = -6 ± √5
Vậy phương trình có 4 nghiệm: x = -6 ± √5

Câu 3: Giải phương trình (x + 5)(x + 6)(x – 4)(x – 5) = -21 (1)

Giải:
Đặt t = (x – 4)(x + 5) = x^2 + x – 20
(x + 6)(x – 5) = x^2 + x – 30 = t – 10
Với t = 3 ⇒ x^2 + x-20 = 3 ⇔ x^2 + x – 23 = 0. Phương trình có ∆ = 93 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Với t = 7 ⇒ x^2 + x-20 = 7 ⇔ x^2 + x – 27 = 0. Phương trình có ∆ = 109 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Vậy phương trình có 4 nghiệm:

Câu 4: Giải phương trình (x +5)(x + 4)(x – 1)(x – 2) = 112 (1)

Giải:
Đặt t = (x – 2)(x + 5) = x^2 + 3x – 10
(x + 4)(x – 1) = x^2 + 3x – 4 = t + 6
Với t = 8 ⇒ x^2 + 3x – 10 = 8 ⇔ x^2 + 3x – 18 = 0. Phương trình có ∆ = 81 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x = -6, x = 3
Với t = -14 ⇒ x^2 + 3x – 10 = -14 ⇔ x^2 + 3x + 4 = 0. Phương trình có ∆ = -7 < 0 nên phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình có 2 nghiệm: x = -6, x = 3

Câu 5: Giải phương trình (x +1)(x + 3)(x + 6)(x + 4) = -8 (1)

Giải:
Đặt t = (x + 1)(x + 6) = x^2 + 7x + 6
(x + 4)(x + 3) = x^2 + 7x + 12 = t + 6
Với t = -2 ⇒ x^2 + 7x + 6 = -2 ⇔ x^2 + 7x + 8 = 0. Phương trình có ∆ = 17 > 0 nên có 2 nghiệm phân biệt
Với t = -4 ⇒ x^2 + 7x + 6 = -4 ⇔ x^2 + 7x + 10 = 0. Phương trình có ∆ = 9 > 0 nên có 2 nghiệm phân biệt x = -2, x = -5
Vậy phương trình có 4 nghiệm:

Cách giải phương trình bậc bốn bằng cách đặt t (dạng (x + a)^4 + (x + b)^4 = c)

A. Phương pháp giải

Thay (*) và (**) vào phương trình biến đổi đưa về phương trình trùng phương.

B. Bài tập

Câu 1: Giải phương trình (x + 6)^4 + (x – 4)^4 = 82 (1)