Phương trình bậc hai với hệ số thực – Tìm hiểu và giải bài tập Toán 12

Kết thúc chủ đề về số phức, chúng ta sẽ đi vào một phần kiến thức mới – phương trình bậc hai với hệ số thực. Mặc dù lý thuyết ngắn gọn nhưng yêu cầu sự vận dụng cao, bạn cần nắm vững các kiến thức trước đó để tiếp cận bài học này. Việc tập trung vào bài học và làm bài tập đều đặn sẽ giúp chúng ta dễ dàng tiếp cận và hiểu hơn. Hãy cùng tìm hiểu lý thuyết và cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực!

Mục tiêu của bài học Phương trình bậc hai với hệ số thực

Bài học này liên quan đến các kiến thức trước đó, vì vậy hãy nắm vững nội dung đã học và đặt mục tiêu cụ thể cho bài học hôm nay.

• Giúp bạn nắm được căn bậc hai của một số thực âm và cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực trong mọi trường hợp đối với Δ.
• Hướng dẫn giải phương trình bậc hai với hệ số thực trong mọi trường hợp đối với Δ.

Lý thuyết bài học Phương trình bậc hai với hệ số thực

Dưới đây là một số kiến thức quan trọng mà chúng ta cần nắm vững trước khi làm bài tập.

1. Căn bậc hai của số thực âm

Ví dụ: Tìm x sao cho x² = -1?

Vì i² = -1 nên x = ±i.

Kết luận: Căn bậc hai của số thực âm là ±i√|a|.

2. Phương trình bậc hai với hệ số thực

Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (với a, b, c ∈ R, a ≠ 0). Xét biệt thức △ = b² – 4ac.

Nhận xét:

• Trên tập hợp số phức, mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân biệt).
• Mọi phương trình bậc n (n ≥ 1): a₀xⁿ + a₁x^n-1 + … + a_n-1x + a_n, (a₀, a₁, …, a_n ∈ R, a₀ ≠ 0) đều có n nghiệm phức (các nghiệm không nhất thiết phân biệt).

Bài tập sách giáo khoa Phương trình bậc hai với hệ số thực

Bài tập sách giáo khoa sát với lý thuyết, hãy thử những bài tập thú vị này cùng itoan nhé!

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 4 trang 139:

Thế nào là căn bậc hai của số thực dương a?

Lời giải:
Căn bậc hai của một số thực dương a là một số thực b sao cho b² = a.

Bài 1 (trang 140 SGK Giải tích 12):

Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: -7; -8; -12; -20; -121

Lời giải:
Căn bậc hai của -7 là ±i√7.
Căn bậc hai của -8 là ±i2√2.
Căn bậc hai của -12 là ±i2√3.
Căn bậc hai của -20 là ±i2√5.
Căn bậc hai của -121 là ±11i.

Bài 2 (trang 140 SGK Giải tích 12):

Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) -3z² + 2z – 1 = 0
b) 7z² + 3z + 2 = 0
c) 5z² – 7z + 11 = 0

Lời giải:

a) Phương trình -3z² + 2z – 1 = 0 có Δ’ = 12 – 3 = -2. Phương trình có hai nghiệm.

b) Phương trình 7z² + 3z + 2 = 0 có Δ = 32 – 4.7.2 = -47 < 0. Phương trình có hai nghiệm.

c) Phương trình 5z² – 7z + 11 = 0 có Δ = 72 – 4.5.11 = -171 < 0. Phương trình có hai nghiệm.

Bài 3 (trang 140 SGK Giải tích 12):

Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) z⁴ + z² – 6 = 0
b) z⁴ + 7z² + 10 = 0

Lời giải:

a) z⁴ + z² – 6 = 0 ⇔ (z² – 2)(z² + 3) = 0. Vậy phương trình có tập nghiệm.

b) z⁴ + 7z² + 10 = 0 ⇔ (z² + 2)(z² + 5) = 0. Vậy phương trình có tập nghiệm.

Bài 4 (trang 140 SGK Giải tích 12):

Cho a, b, c ∈R, a ≠ 0, z₁, z₂ là hai nghiệm phân biệt (thực hoặc phức) của phương trình ax² + bx + c = 0. Hãy tính z₁ + z₂ và z₁z₂ theo hệ số a, b, c.

Lời giải:

Cách 1:
Phương trình az² + bz + c = 0 có Δ = b² – 4ac.

• Trường hợp 1: Δ < 0, phương trình có hai nghiệm phức.
• Trường hợp 2: Δ ≥ 0, theo định lý Vi-et ta có:

Cách 2:
Vì z₁ và z₂ là hai nghiệm của phương trình az² + bz + c = 0, ta có:

a.z₁² + bz₁ + c = 0 (1)
az₂² + bz₂ + c = 0 (2).

• Trừ hai vế của (1) cho (2) ta được:
  a.(z₁² – z₂²) + b(z₁ – z₂) = 0
  ⇔ a.(z₁ – z₂)(z₁ + z₂) + b.(z₁ – z₂) = 0
  ⇔ a.(z₁ + z₂) + b = 0 (vì z₁ ≠ z₂).

Bài 5 (trang 140 SGK Giải tích 12):

Cho z = a + bi là một số phức. Hãy tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z và z− làm nghiệm.

Lời giải:

---

Lời kết:

Phương trình bậc hai với hệ số thực có gây khó khăn cho bạn không? Nếu có, hãy để lại bình luận phía dưới để Toppy giải đáp ngay nhé! Hãy chú ý đọc kỹ lý thuyết của các bài học có liên quan để áp dụng tốt vào việc giải phương trình bậc hai với hệ số thực. Ngoài ra, bạn có thể tham khảo thêm các nguồn tư liệu trên website của Toppy, tại đó có những bài tập nâng cao phù hợp với những bạn học sinh có hứng thú và học lực cao.

Toppy là một công ty Edtech về giáo dục trực tuyến, cung cấp trải nghiệm học tập cá nhân cho hàng trăm nghìn học sinh, sinh viên và nhà trường. Chúng tôi mang đến những bài giảng hay và dễ hiểu nhất, giúp bạn tiến bộ hơn từng ngày. Chúc bạn thành công trong việc làm chủ môn Giải tích 11 và đạt được nhiều điểm thưởng.