Phương trình bậc 2: Điều kiện để có nghiệm và ví dụ về tìm điều kiện

Phương trình bậc 2 là một khái niệm quen thuộc trong môn Toán học. Bạn có thể tự hỏi: Phương trình bậc 2 có nghiệm khi nào? Và khi đó, delta cần thỏa điều kiện gì?

Phương trình bậc 2 – kiến thức cơ bản

Trước khi đi vào chi tiết, hãy nhớ lại một số khái niệm cơ bản về phương trình bậc 2:

• Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a≠0)
• Công thức tính delta (ký hiệu: Δ): Δ = b2 – 4ac
• Nếu Δ > 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
• Nếu Δ = 0: Phương trình có nghiệm kép
• Nếu Δ < 0: Phương trình vô nghiệm
• Công thức nghiệm thu gọn tính Δ’ (chỉ tính Δ’ khi hệ số b chẵn): Δ = b’2 – ac với b = 2b’
• Nếu Δ’ > 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
• Nếu Δ’ = 0: Phương trình có nghiệm kép
• Nếu Δ’ < 0: Phương trình vô nghiệm

Vậy, để trả lời câu hỏi: Phương trình bậc 2 có nghiệm khi nào? – Đó là khi biệt thức delta ≥ 0.

Một số bài tập tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm

Hãy xem qua một số bài tập giúp chúng ta hiểu rõ hơn về cách tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm.

Bài tập 1

Chứng minh rằng phương trình: 2×2 – (1 – 2a)x + a – 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của a.

Lời giải:

• Xét phương trình: 2×2 – (1 – 2a)x + a – 1 = 0. Ta có:
  a = 2; b = -(1 – 2a) = 2a – 1; c = a – 1.
• Tính delta: Δ = (2a – 1)2 – 4.2.(a – 1) = 4a2 – 12a + 9 = (2a – 3)2.
• Vì Δ ≥ 0 với mọi a, nên phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi a.

Bài tập 2

Cho phương trình mx2 – 2(m – 1)x + m – 3 = 0 (*). Tìm giá trị của m để phương trình trên có nghiệm.

Lời giải:

• Nếu m = 0, phương trình đã cho trở thành: 2x – 3 = 0, là phương trình bậc nhất một ẩn, có nghiệm x = 3/2.
• Xét m ≠ 0. Khi đó phương trình đã cho là phương trình bậc 2 một ẩn. Ta có:
  a = m; b = -2(m – 1); c = m – 3.
  Và Δ = [-2(m-1)]2 – 4.m.(m-3) = 4(m2 – 2m + 1) – (4m2 – 12m)
  = 4m2 – 8m + 4 – 4m2 + 12m = 4m + 4.
• Như vậy, m = 0 thì phương trình () có nghiệm. Với m ≠ 0, phương trình () có nghiệm khi và chỉ khi Δ ≥ 0 ⇔ 4m + 4 ≥ 0 ⇔ m ≥ -1.
  ⇒ Kết luận: Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi m ≥ -1.

Bài tập 3

Chứng minh rằng phương trình x2 – 2(m + 4)x + 2m + 6 = 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

Bài tập 4

Xác định m để các phương trình sau có nghiệm: x2 – mx – 1 = 0.

Bài tập 5

Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm: 3×2 + (m – 2)x + 1 = 0.

Bài tập 6

Tìm điều kiện của m để phương trình sau có nghiệm: x2 – 2mx – m + 1 = 0.

Bài tập 7

Với giá trị nào của m thì phương trình sau: mx2 – 4(m – 1)x + 4m + 8 = 0 có nghiệm.

Đó là một số bài tập giúp bạn nắm rõ hơn về cách tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm. Hãy thử làm và kiểm tra kết quả của bạn.

Đây là những kiến thức cơ bản về phương trình bậc 2. Hy vọng rằng bạn đã hiểu rõ hơn về cách tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm.