Bạn đã bao giờ gặp phải bài toán tính tích phân hàm chứa giá trị tuyệt đối và muốn biết cách giải quyết không? Trên đây là một bài viết hướng dẫn phương pháp tính tích phân hàm chứa giá trị tuyệt đối, một dạng toán thường gặp trong chương trình Giải tích 12 chương 3.
Mục lục
- 1. Phương pháp tính tích phân hàm chứa giá trị tuyệt đối
- 2. Một số ví dụ minh họa
- 2.1. Ví dụ 1: Tính tích phân: $I = int_{-3}^3 |x^2 – 1|dx$
- 2.2. Ví dụ 2: Tính tích phân: $I = int_{0}^2 |x^2 – 4x + 3|dx$
- 2.3. Ví dụ 3: Tính tích phân: $I_{(m)} = int_0^1 |x^2 – 2x + m|dx$
- 2.4. Ví dụ 4: Tính tích phân: $I = int_0^2 |x^2 – x|dx$
- 2.5. Ví dụ 5: Tính tích phân: $I(alpha) = int_0^1 x |x – alpha|dx$
- 2.6. Ví dụ 6: Giải bất phương trình $f(x) ge g(x)$ và tính $I = int_{-1}^2 |f(x) – g(x)|dx$
- 2.7. Ví dụ 7: Tính tích phân: $I = int_{-pi}^{pi} sqrt{1 – sin x} dx$
- 2.8. Ví dụ 8: Tính tích phân: $I = int_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}} |sin x| dx$
Phương pháp tính tích phân hàm chứa giá trị tuyệt đối
Muốn tính tích phân $I = int_a^b | f(x)|dx$, bạn có thể làm theo các bước sau:
- Xét dấu hàm $f(x)$ trên đoạn $[a;b]$ để mở dấu giá trị tuyệt đối.
- Áp dụng công thức: $ int_a^b | f(x)|dx = int_a^c | f(x)|dx + int_c^b | f(x)|dx.$
Một số ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính tích phân: $I = int_{-3}^3 |x^2 – 1|dx$
Ta có: $I = int{-3}^3 |x^2 – 1|dx = int{-3}^{-1} (x^2 – 1)dx + int{-1}^1 (-x^2 + 1)dx + int{1}^3 (x^2 – 1)dx = frac{44}{3}.$
Ví dụ 2: Tính tích phân: $I = int_{0}^2 |x^2 – 4x + 3|dx$
Ta có: $I = int{0}^1 (x^2 – 4x + 3)dx + int{1}^2 (-x^2 + 4x – 3)dx = 2.$
Ví dụ 3: Tính tích phân: $I_{(m)} = int_0^1 |x^2 – 2x + m|dx$
Ta có:
- Khi $m ge 1$, ta có $I_{(m)} = int_0^1 (x^2 – 2x + m)dx = m – frac{2}{3}.$
- Khi $0 < m < 1$, ta có $I_{(m)} = int_0^{x1} (x^2 – 2x + m)dx + int{x_1}^1 (-x^2 + 2x – m)dx = frac{2}{3}(1 – sqrt{1 – m})(2m – 1 + sqrt{1 – m}) + frac{2}{3} – m.$
- Khi $m le 0$, ta có $I_{(m)} = int_0^1 (-x^2 + 2x – m)dx = frac{2}{3} – m.$
Ví dụ 4: Tính tích phân: $I = int_0^2 |x^2 – x|dx$
Ta có: $I = int_0^1 (-x^2 + x)dx + int_1^2 (x^2 – x)dx = 1.$
Ví dụ 5: Tính tích phân: $I(alpha) = int_0^1 x |x – alpha|dx$
- Khi $alpha le 0$, ta có $I(alpha) = int_0^1 (x – alpha)dx = frac{1}{3} – frac{alpha}{2}.$
- Khi $0 < alpha < 1$, ta có $I(alpha) = int0^alpha (x – alpha)dx + intalpha^1 (x – alpha)dx = frac{2}{3} – alpha.$
- Khi $alpha ge 1$, ta có $I(alpha) = int_0^1 (-x + alpha)dx = frac{alpha}{2} – frac{1}{3}.$
Ví dụ 6: Giải bất phương trình $f(x) ge g(x)$ và tính $I = int_{-1}^2 |f(x) – g(x)|dx$
a) Ta có: $f(x) ge g(x) Leftrightarrow f(x) – g(x) ge 0 Leftrightarrow (x – 1)(x^2 – x – 2) ge 0 Leftrightarrow (x^2 – 1)(x – 2) ge 0 Leftrightarrow -1 le x le 1$ hoặc $x ge 2$.
b) Ta có: $I = int_0^1 (x^3 – 2x^2 – x + 2)dx – int_1^2 (x^3 – 2x^2 – x + 2)dx = frac{37}{12}.$
Ví dụ 7: Tính tích phân: $I = int_{-pi}^{pi} sqrt{1 – sin x} dx$
Ta có: $I = 2sqrt{2} int_{-frac{pi}{4}}^{frac{pi}{2}} left|cosleft(frac{x}{2} + frac{pi}{4}right)right| dx = 4sqrt{2}.$
Ví dụ 8: Tính tích phân: $I = int_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}} |sin x| dx$
Ta có: $I = int_{-frac{pi}{2}}^0 (-sin x) dx + int_0^{frac{pi}{2}} sin x dx = 2.$
Còn nhiều ví dụ khác nữa, bạn hãy thử tự tính và tìm hiểu thêm nhé!
