Có phải bạn đang quan tâm tới khái niệm “hai mặt phẳng vuông góc”? Trên thực tế, hai mặt phẳng vuông góc là hai mặt phẳng có góc giữa chúng bằng 90 độ.
Mục lục
Điều Kiện để Hai Mặt Phẳng Vuông Góc
Hai mặt phẳng sẽ vuông góc với nhau khi và chỉ khi một mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng còn lại.
Các Tính Chất của Hai Mặt Phẳng Vuông Góc
Trong trường hợp hai mặt phẳng vuông góc với nhau, bất kỳ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.
Nếu hai mặt phẳng (A) và (B) vuông góc với nhau và đường thẳng a đi qua điểm H trên mặt phẳng (A) và vuông góc với (B), thì đường thẳng a sẽ nằm trong (A).
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cả hai mặt phẳng này cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba, thì giao tuyến của chúng cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng còn lại.
Hai Mặt Phẳng Vuông Góc trong Tọa Độ Không Gian
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong không gian tọa độ Oxyz có dạng tổng quát như sau:
Ax + By + Cz + D = 0
với A^2 + B^2 + C^2 > 0.
Để viết được phương trình mặt phẳng trong không gian, chúng ta cần xác định đúng 2 điều kiện:
- Điểm M nằm trên mặt phẳng
- Vector pháp tuyến của mặt phẳng
Bài Tập và Cách Chứng Minh
Hãy thử giải các bài tập và chứng minh sau đây để hiểu rõ hơn về hai mặt phẳng vuông góc:
Bài Tập 1: Chứng Minh Mặt Phẳng Vuông Góc
Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông ABC, với góc B bằng 90 độ. Gọi 2 điểm H, K lần lượt là các hình chiếu vuông góc của A lên 2 đoạn thẳng SB và SC. Hãy chứng minh rằng mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC), và mặt phẳng (AHK) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Hướng Dẫn Giải
Chứng minh mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC):
Để chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc với nhau, chúng ta cần chứng minh trong mặt phẳng này có 1 đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
Ta có: Tam giác ABC vuông tại B, suy ra AB vuông góc BC (1). Và SA vuông góc (ABC), nên SA vuông góc BC (2). Từ (1) và (2), ta suy ra được: BC vuông góc (SAB), BC nằm trong (SBC), từ đó suy ra (SAB) vuông góc (SBC).
Chứng minh mặt phẳng (AHK) vuông góc với mặt phẳng (SBC):
Ta có: BC vuông góc (SAB), và AH thuộc (SAB), từ đó suy ra BC vuông góc AH (3). H là hình chiếu vuông góc của A (theo giả thuyết), từ đó SB vuông góc AH (4). Từ (3) và (4), ta suy ra được AH vuông góc (SBC), và vì AH nằm trong (AHK), từ đó suy ra (AHK) vuông góc (SBC).
Bài Tập 2: Chứng Minh Đường Thẳng Vuông Góc với Mặt Phẳng
Cho hai mặt phẳng Δ và (β) vuông góc với nhau và cắt nhau thông qua giao tuyến d. Hãy chứng minh rằng nếu có một đường thẳng Δ nằm trong Δ và vuông góc với giao tuyến d, thì Δ cũng vuông góc với mặt phẳng (β).
Hướng Dẫn Giải
Ta có:
Từ điểm A, ta kẻ đường thẳng a. Do Δ và (β) vuông góc với nhau, nên Δ và (β) cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba, từ đó suy ra giao tuyến d (nếu có) của chúng cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng này.
Nếu có một đường thẳng Δ nằm trong Δ và vuông góc với giao tuyến d, thì vuông góc từ Δ đến d chính là đường thẳng Δ. Do Δ và d vuông góc và Δ nằm trong Δ, từ đó suy ra Δ vuông góc với (β).
Đó là những điều cần phải chứng minh.
Bài Tập Trắc Nghiệm
Để kiểm tra kiến thức của bạn, hãy thử giải những bài tập trắc nghiệm liên quan đến hai mặt phẳng vuông góc.
Nếu bạn cần tư vấn và xây dựng lộ trình ôn thi THPT môn Toán, hãy đăng ký ngay để được các thầy cô tư vấn.
Tham khảo ngay bộ tài liệu nắm trọn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập độc quyền của VUIHOC.
Đó là một số thông tin cơ bản về hai mặt phẳng vuông góc. Hy vọng rằng những kiến thức này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về khái niệm này và áp dụng vào việc giải các bài tập. Chúc bạn thành công!
