Cung và góc lượng giác: Lý thuyết và các dạng bài tập lớp 10

Nhập môn với cung và góc lượng giác

Bạn có biết không, cung và góc lượng giác là những khái niệm quan trọng trong toán học. Với các kiến thức về lượng giác, bạn có thể áp dụng vào nhiều dạng bài tập khác nhau. Hãy cùng tìm hiểu lý thuyết và các dạng bài tập về cung và góc lượng giác lớp 10 nhé!

1. Khái niệm chung về cung và góc lượng giác

1.1. Cung lượng giác là gì?

Đầu tiên, chúng ta sẽ tìm hiểu về cung lượng giác. Cung lượng giác là một phần của đường tròn, được đo bằng góc giữa hai đường thẳng chắn bởi cung đó trên đường tròn. Điểm quan trọng là khi viết cung nhỏ, ta sẽ sử dụng ký hiệu $widehat{AB}$, với AB là dây chắn cung $widehat{AB}$.

1.2. Góc lượng giác là gì?

Góc lượng giác là góc được đo theo đơn vị lượng giác, được định nghĩa trên đường tròn lượng giác. Một góc lượng giác có thể có nhiều số đo khác nhau, nhưng chúng có cùng tia đầu và tia cuối và chỉ chênh lệch nhau một bội của $360^{circ}$ hoặc $2pi$.

1.3. Đường tròn lượng giác

Đường tròn lượng giác là một đường tròn có tâm O và bán kính R trong một mặt phẳng toạ độ. Điểm M(x;y) trên đường tròn lượng giác có cung lượng giác số đo α. Trên đường tròn lượng giác, ta có các trục giá trị của sin, cos, tang và cot.

2. Đơn vị đo cung và góc lượng giác

2.1. Đơn vị Radian

Đơn vị Radian được sử dụng để đo cung trên đường tròn. Khi một cung có độ dài bằng bán kính đường tròn chứa cung đó, nó được đo bằng 1 radian. Đơn vị này được kí hiệu là 1 hoặc $rad$.

2.2. Đơn vị Độ

Độ là một đơn vị đo góc rất phổ biến. Một độ góc bằng $frac{1}{180}$ góc bẹt. Một cung trên đường tròn có số đo là một độ. Vậy, một độ được kí hiệu là $1^{circ}$ tương đương với 60′.

2.3. Đổi độ ra Radian

Để đổi đơn vị đo góc từ độ sang radian, ta sử dụng công thức $1^{circ} = frac{pi}{180}$ rad.

2.4. Độ dài của một cung tròn

Độ dài của một cung tròn được tính bằng cách nhân số đo cung với bán kính R. Công thức tính độ dài cung tròn là $l = r cdot text{rad}$.

3. Bảng giá trị lượng giác

3.1. Cách tìm giá trị lượng giác của cung

Để tìm giá trị lượng giác của một cung, chúng ta xét điểm ngọn M của cung trên đường tròn lượng giác. Với tọa độ M(x;y), ta có các công thức tương ứng. Có rất nhiều công thức giá trị lượng giác, nhưng chúng ta chỉ xem xét một số công thức cơ bản.

3.2. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Có một số giá trị lượng giác đặc biệt ta cần biết, bao gồm sin, cos, tan và cot của góc 0, 30, 45, 60 và 90 độ.

3.3. Tìm giá trị lượng giác của các góc liên quan

Chúng ta có thể tìm giá trị lượng giác của các góc liên quan như góc đối nhau, góc bù nhau, góc phụ nhau và góc hơn kém.

3.4. Các công thức lượng giác

Có nhiều công thức lượng giác khác nhau để giải các bài toán liên quan. Bạn có thể tham khảo chi tiết trong bài viết “Tổng hợp công thức lượng giác”.

4. Một số bài tập về các dạng toán cung và góc lượng giác lớp 10

4.1. Cung lượng giác trên đường tròn được biểu diễn thế nào?

Để biểu diễn các góc lượng giác trên đường tròn lượng giác, chúng ta thường sử dụng các kết quả sau:

• Góc và góc sẽ có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.

• Số điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn bởi số đo có dạng $2kpi$, với k là số nguyên. Từ đó, để biểu diễn các góc lượng giác, ta chỉ cần lần lượt cho từ k tới $(m-1)$ và biểu diễn các góc đó trên đường tròn.

4.2. Cách xác định giá trị của biểu thức chứa góc đặc biệt

Để xác định giá trị của biểu thức chứa góc đặc biệt, chúng ta có thể sử dụng các định nghĩa và tính chất của lượng giác cơ bản. Đồng thời, để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung, chúng ta áp dụng bảng xét dấu của các giá trị lượng giác trên đường tròn và xác định điểm ngọn của cung thuộc phần tư nào.

4.3. Chứng minh biểu thức không phụ thuộc góc X, đơn giản biểu thức

Để chứng minh một đẳng thức không phụ thuộc góc X hoặc đơn giản biểu thức, chúng ta sử dụng các hệ thức lượng giác, hằng đẳng thức và tính chất của lượng giác để biến đổi. Chúng ta có thể biến đổi vế này thành vế kia, biến đổi tương đương hoặc biến đổi hai vế cùng bằng một đại lượng khác.

Thông qua việc tìm hiểu về cung và góc lượng giác, hy vọng bạn đã nắm được kiến thức cơ bản và có thể làm các bài tập liên quan. Đừng quên đăng ký tài khoản trên nền tảng Vuihoc.vn để được học thêm nhiều dạng bài tập về lượng giác nhé!