Giới hạn của dãy số được coi là một khái niệm quan trọng trong toán học. Chúng ta cùng tìm hiểu về lý thuyết này và các loại giới hạn của dãy số.
Mục lục
Giới hạn hữu hạn của dãy số
Dãy số có giới hạn bằng 0
- Một dãy số được cho là có giới hạn bằng 0 khi các số trong dãy dần tiến tới dương vô cực và giá trị tuyệt đối của từng số trong dãy có thể nhỏ hơn một số dương bất kỳ sau một số hạng nào đó.
- Khi đó, ta kí hiệu giới hạn của dãy số là (lim {u_n} = 0) hoặc ({u_n} to 0) khi (n to + infty).
- Điểm cần lưu ý là (lim frac{1}{{{n^k}}} = 0,k in mathbb{Z}). Ngoài ra, nếu (left| q right| < 1) thì (lim {q^n} = 0).
Dãy số có giới hạn hữu hạn
- Một dãy số được cho là có giới hạn là một số thực a khi các số trong dãy dần tiến tới dương vô cực và sự chênh lệch giữa từng số của dãy với số a dần tiến tới 0.
- Khi đó, ta kí hiệu giới hạn của dãy số là (lim {u_n} = a) hoặc ({u_n} to a) khi (n to + infty).
- Điều đáng lưu ý là nếu ({u_n} = c) với c là một hằng số, thì (lim {u_n} = c).
Định lí về giới hạn hữu hạn
- Cho (lim {u_n} = a,lim {v_n} = b) và c là một hằng số, ta có:
- (lim ({u_n} pm {v_n}) = a pm b),
- (lim ({u_n}.{v_n}) = a.b),
- (lim (frac{{u_n}}{{v_n}}) = frac{a}{b}(b ne 0)),
- Nếu ({u_n} ge 0), với mọi n và (lim {u_n} = a), ta có (a ge 0) và (lim sqrt {{u_n}} = sqrt a).
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
- Nếu một cấp số nhân (left( {{u_n}} right)) có công bội q thỏa mãn (left| q right| < 1), ta gọi nó là cấp số nhân lùi vô hạn.
- Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn được tính bằng công thức (S = frac{{{u_1}}}{{1 – q}}(left| q right| < 1)).
Giới hạn vô cực
- Một dãy số được cho là có giới hạn ( + infty ) khi các số trong dãy có thể lớn hơn một số dương bất kỳ sau một số hạng nào đó.
- Khi đó, ta kí hiệu giới hạn của dãy số là (lim {u_n} = + infty) hoặc ({u_n} to + infty) khi (n to + infty).
- Một dãy số được cho là có giới hạn ( – infty ) khi giới hạn của số âm của dãy tiến tới dương vô cực.
- Khi đó, ta kí hiệu giới hạn của dãy số là (lim {u_n} = – infty) hoặc ({u_n} to – infty) khi (n to + infty).
Như vậy, chúng ta đã tìm hiểu về lý thuyết giới hạn của dãy số và các loại giới hạn khác nhau. Hãy áp dụng kiến thức này vào các bài toán thực tế để giải quyết chúng một cách hiệu quả.
