Dãy số là một khái niệm quan trọng trong toán học. Chúng ta đã được học về giới hạn hữu hạn của dãy số, giới hạn vô cực và cấp số nhân lùi vô hạn. Nhưng giới hạn của một dãy số không chỉ giới hạn ở những con số đó. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về giới hạn limn→+∞un và những ví dụ đi kèm.
Mục lục
Giới hạn hữu hạn của dãy số
Định nghĩa
Giới hạn hữu hạn của một dãy số (un) là 0 khi giá trị của dãy số tiến tới dương vô cùng. Nói cách khác, nếu giá trị tuyệt đối của (un) có thể nhỏ hơn một số dương bất kỳ, bắt đầu từ một số hạng nào đó trở đi, thì ta nói dãy số (un) hội tụ về 0.
Ví dụ
Hãy xem ví dụ sau để hiểu rõ hơn về giới hạn hữu hạn của dãy số:
Cho dãy số (un) với un = -1/(nn^2). Chúng ta cần tìm giới hạn của dãy số này.
Giải:
Xét un = 1/(n^2) = 1/n^2.
Với n > 10, ta có n^2 > 10^2 = 100.
⇒ 1/(n^2) < 1/100.
⇒ limn→∞un = 0.
Một số giới hạn đặc biệt
Khi ta nghiên cứu về giới hạn của một dãy số, ta cũng cần quan tâm đến những giới hạn đặc biệt. Dưới đây là một số giới hạn đặc biệt mà chúng ta cần biết:
a) limn→∞(1/n) = 0, limn→∞(1/n^k) = 0 với k là số nguyên dương.
b) limn→∞(q^n) nếu |q| < 1.
c) Nếu un = c (c là hằng số), thì limn→∞(un) = limn→∞(c) = c.
Chúng ta định nghĩa ký hiệu limn→+∞(un) = a là lim (un) = a.
Định lí về giới hạn hữu hạn
Định lí sau đây giúp chúng ta tính toán giới hạn của các biểu thức chứa dãy số.
Định lí 1
a) Nếu lim(un) = a và lim(vn) = b, thì:
- lim (un + vn) = a + b
- lim (un – vn) = a – b
- lim (un vn) = a b
- lim (un/vn) = a/b (nếu b ≠ 0)
Nếu un ≥ 0 với mọi n và lim(un) = a, thì:
- lim(un) = a và a ≥ 0.
Ví dụ
Hãy xem ví dụ sau để hiểu rõ hơn về định lí về giới hạn hữu hạn:
Tính lim(2n + 1/n).
Giải:
lim(2n + 1/n) = lim(2n) + lim(1/n).
Vì lim(2n) = +∞ và lim(1/n) = 0,
⇒ lim(2n + 1/n) = +∞.
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cấp số nhân lùi vô hạn là một loại dãy số với công bội q, trong đó |q| < 1. Ta có thể tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn như sau:
S = u1 + u2 + u3 + … + un + … = u1/(1 – q)
Ví dụ
Hãy xem ví dụ sau để hiểu rõ hơn về tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 1, -1/2, 1/4, -1/8, …, -1/2^n, …
Giải:
Dãy số 1, -1/2, 1/4, -1/8, …, -1/2^n, … được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q = -1/2.
Khi đó, ta có: Sn = lim(1 – q^n)/(1 – q) = 1/(1 + 1/2) = 2/3.
Giới hạn vô cực
Định nghĩa
Giới hạn vô cực của một dãy số được xác định khi giá trị của dãy số tăng đến vô cùng khi n tiến tới dương vô cùng.
Khi đó, ta ký hiệu lim(un) = +∞ (hoặc lim(un) = -∞ nếu lim(-un) = +∞).
Một số giới hạn đặc biệt
Dưới đây là một số giới hạn đặc biệt mà chúng ta cần biết:
a) lim(n^k) = +∞ với k là số nguyên dương.
b) lim(q^n) = +∞ nếu q > 1.
Định lí 2
a) Nếu lim(un) = a và lim(vn) = ±∞, thì lim(un*vn) = 0.
b) Nếu lim(un) = a > 0, lim(vn) = 0 và vn > 0, ∀ n > 0, thì lim(un*vn) = +∞.
c) Nếu lim(un) = +∞ và lim(vn) = a > 0, thì lim(un*vn) = +∞.
Ví dụ
Tính lim(2n + 1/n).
Giải:
lim(2n + 1/n) = lim(2n) + lim(1/n).
Vì lim(2n) = +∞ và lim(1/n) = 0,
⇒ lim(2n + 1/n) = +∞.
