Biểu Diễn Hình Học, Tìm Tập Hợp Điểm Biểu Diễn Số Phức

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về biểu diễn hình học của số phức và cách tìm tập hợp điểm biểu diễn một số phức trên mặt phẳng tọa độ.

Kiến Thức Cơ Bản

Biểu diễn hình học của số phức được thể hiện bởi điểm M(a, b) trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Trong dạng này, ta thường gặp các bài toán liên quan đến việc tìm tập hợp điểm biểu diễn một số phức thỏa mãn một điều kiện nào đó, thường là hệ thức liên quan đến module của số phức. Khi đó, chúng ta giải bài toán bằng cách sử dụng các dữ kiện được đưa ra trong đề bài để tìm mối liên hệ giữa hai thành phần thực và ảo của số phức.

Kĩ Năng Cơ Bản

Một kĩ năng cơ bản trong việc tìm điểm biểu diễn của số phức là tìm số phức z thỏa mãn một điều kiện cho trước. Để tìm điểm biểu diễn của số phức z = a + bi (a, b), chúng ta có thể biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ Oxy bằng điểm M(a, b). Ta có thể sử dụng dữ kiện trong đề bài để tìm mối liên hệ giữa a và b và từ đó suy ra tập hợp điểm M.

Các kĩ năng cơ bản khác bao gồm tìm điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước như sau:

• Số phức z = a + bi (a, b) được biểu diễn bởi điểm M(a, b) trên mặt phẳng tọa độ Oxy, được gọi là mặt phẳng phức.
• Trục Ox biểu diễn các số thực, còn trục Oy biểu diễn các số ảo.
• Số phức z = a + bi cũng có thể được biểu diễn bởi vectơ u = (a, b), do đó điểm M(a, b) cũng biểu diễn số phức z = a + bi. Tương tự, ta có các phép toán với vectơ u và v như sau:
  • u + v biểu diễn số phức z + z’,
  • u – v biểu diễn số phức z – z’,
  • ku biểu diễn số phức kz,
  • |OM| = |u| = |z|, với M là điểm biểu diễn của z.

Bài Tập Luyện Tập

Bài 1: Tìm điểm biểu diễn của số phức z biết:
a) Điểm biểu diễn số phức z = 2 – 3i có tọa độ là (2, -3).
b) Điểm biểu diễn số phức z = -2i có tọa độ là (0, -2).
c) Cho số phức z = 6 + 7i. Số phức liên hợp của z có điểm biểu diễn là (6, -7).
d) Điểm biểu diễn của số phức z = 1/(2 – 3i) là (2/13, 3/13).
e) Cho số phức z = 2016 – 2017i. Số phức đối của z là -Z = -2016 + 2017i có điểm biểu diễn là (-2016, 2017).
f) Cho số phức z = 2017 – 2018i. Số phức liên hợp Overline(z) = 2017 + 2018i có điểm biểu diễn là điểm có tọa độ (2017, 2018).
g) Điểm biểu diễn số phức z = (2 – 3i)(4 – i)/(3 + 2i) = -1 – 4i có tọa độ là (-1, -4).
h) Trong mặt phẳng Oxy, điểm biểu diễn của số phức z = i^2016/(1 + 2i)^2 là điểm nào?
z = i^2016/(1 + 2i)^2 = i^4.504+2/(-3 + 4i) = i^2/(-3 + 4i) = -1/(-3 + 4i) = 3/25 + 4/25i.
Điểm biểu diễn của số phức z = i^2016/(1 + 2i)^2 là (3/25, 4/25).

Bài 2: Cho số phức z = 1 + 3i và số phức z’ = 2 + i. Hãy:
a) Biểu diễn số phức z và z’ trên mặt phẳng phức.
b) Biểu diễn số phức z + z’ và z’ – z trên mặt phẳng phức.
Giải:
a) Biểu diễn số phức z = 1 + 3i là điểm M(1, 3).
Biểu diễn số phức z’ = 2 + i là điểm M'(2, 1).
b) z + z’ = 3 + 4i, biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi điểm P(3, 4).
z’ – z = 1 – 2i, biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi điểm Q(1, -2).

Bài Tập Tin Năng Kỹ Năng Quan Trọng

Câu 1. Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức z = 1 – 2i trên mặt phẳng tọa độ?
A. Q(1, 2)
B. N(2, 1)
C. M(1, -2)
D. P(-2, 1)

Câu 2. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z + 3 + 4i| ≤ 2. Trong mặt phẳng Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức w = 2z + 1 – i là hình tròn có diện tích:
A. S = 9π.
B. S = 12π.
C. S = 16π.
D. S = 25π.

Câu 3. Điểm biểu diễn hình học của số phức z = a + ai nằm trên đường thẳng:
A. y = x
B. y = 2x
C. y = -x
D. y = -2x

Câu 4. Gọi A là điểm biểu diễn của số phức 5 + 8i và B là điểm biểu diễn của số phức -5 + 8i. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành.
B. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục tung.
C. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ O.
D. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x.

Câu 5. Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z = 2 + 5i và B là điểm biểu diễn của số phức z’ = -2 + 5i. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành.
B. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục tung.
C. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ O.
D. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x.

Câu 6. Điểm M biểu diễn số phức z = (3 + 4i)/i^2019 có tọa độ là:
A. M(4, -3).
B. M(3, -4).
C. M(3, 4).
D. M(-4, 3).

Câu 7. Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z1 = -1 + 3i, z2 = 1 + 5i, z3 = 4 + i. Số phức với điểm biểu diễn D sao cho tứ giác ABCD là một hình bình hành là:
A. 2 + 3i.
B. 2 – i.
C. 2 + 3i.
D. 3 + 5i.

Câu 8. Gọi z1 và z2 là các nghiệm phức của phương trình z^2 – 4z + 9 = 0. Gọi M, N là các điểm biểu diễn của z1 và z2 trên mặt phẳng phức. Khi đó độ dài của MN là:
A. MN = 4.
B. MN = 5.
C. MN = -2√5.
D. MN = 2√5.

Câu 9. Gọi z1 và z2 là các nghiệm phức của phương trình z^2 – 4z + 9 = 0. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm biểu diễn của z1, z2 và số phức k = x + yi trên mặt phẳng phức. Khi đó tập hợp điểm P trên mặt phẳng phức để tam giác MNP vuông tại P là:
A. đường thẳng có phương trình y = x – √5.
B. là đường tròn có phương trình x^2 – 2x + y^2 – 8 = 0.
C. là đường tròn có phương trình x^2 – 2x + y^2 – 8 = 0, nhưng không chứa M, N.
D. là đường tròn có phương trình x^2 – 4x + y^2 – 1 = 0, nhưng không chứa M, N.

Câu 10. Biết |z – i| = |(1 + i)z|, tập hợp điểm biểu diễn số phức z có phương trình:
A. x^2 + y^2 + 2y + 1 = 0.
B. x^2 + y^2 – 2y + 1 = 0.
C. x^2 + y^2 + 2y – 1 = 0.
D. x^2 + y^2 + 2y – 1 = 0.

Câu 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z + 3 + 4i| = 2 là:
A. đường tròn có tâm I(0, -1), bán kính r = √2.
B. đường tròn có tâm I(0, 1), bán kính r = √2.
C. đường tròn có tâm I(1, 0), bán kính r = √2.
D. đường tròn có tâm I(-1, 0), bán kính r = √2.

Câu 12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |2 + z| = |i – z| là:
A. đường thẳng có phương trình 4x + 2y + 3 = 0.
B. đường thẳng có phương trình 4x – 2y + 3 = 0.
C. đường thẳng có phương trình -4x + 2y + 3 = 0.
D. đường thẳng có phương trình 4x + 2y – 3 = 0.

Câu 13. Gọi A, B, C, D lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z1 = 7 – 3i, z2 = 8 + 4i, z3 = 1 + 5i, z4 = -2i. Tứ giác ABCD là:
A. hình vuông.
B. hình thoi.
C. hình chữ nhật.
D. hình bình hành.

Câu 14. Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z1 = -1 + 3i, z2 = -3 – 2i, z3 = 4 + i. Chọn mệnh đề sai:
A. Tam giác ABC vuông cân.
B. Tam giác ABC cân.
C. Tam giác ABC vuông.
D. Tam giác ABC đều.

Câu 15. Tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn |z – i| + |z + i| = 4 có dạng là:
A. (x^2)/4 + (y^2)/3 = 1.
B. (x^2)/16 + (y^2)/9 = 1.
C. (x^2)/16 – (y^2)/9 = 1.
D. (x^2)/4 – (y^2)/3 = 1.

Câu 16. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (2 + i)|z| = sqrt(10)/z + 1 – 2i. Biết tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w = (3 – 4i)z – 1 + 2i là đường tròn I, bán kính R. Khi đó:
A. I(-1, -2), R = sqrt(5).
B. I(1, 2), R = sqrt(5).
C. I(-1, 2), R = 5.
D. I(1, -2), R = 5.

Câu 17. Số phức z được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ như hình vẽ. Hình nào biểu diễn cho số phức varpi = i/overline(z)?
A. B
C. D

Câu 18. Trong các số phức z thỏa |z + 3 + 4i| = 2, gọi z0 là số phức có mô đun nhỏ nhất. Khi đó:
A. Không tồn tại số phức z0.
B. |z0| = 2.
C. |z0| = 7.
D. |z0| = 3.

Câu 19. Tính S = 1009 + i + 2i^2 + 3i^3 + … + 2017i^2017.
A. S = 2017 – 1009i.
B. S = 1009 + 2017i.
C. S = 2017 + 1009i.
D. S = 1008 + 1009i.

Câu 20. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z + i| + |z – 2 – i| = 4. Tìm giá trị lớn nhất của T = |z + i| + |z – 2 – i|.
A. max T = 8√2.
B. max T = 4.
C. max T = 4√2.
D. max T = 8.