Hệ trục tọa độ là một công cụ quan trọng trong toán học và đại số. Nó giúp chúng ta biểu diễn và xác định vị trí của các điểm trong không gian. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về lý thuyết này một cách dễ dàng và thú vị.
Mục lục
Trục và độ dài đại số trên trục
Trục tọa độ
Trục tọa độ là một đường thẳng đơn giản, được xác định bởi một điểm gốc (O) và một vector đơn vị (vec e). Nó giúp chúng ta xác định vị trí của các điểm trên trục.
Tọa độ của một điểm
Mỗi điểm trên trục tọa độ được gán một số thực (k) tương ứng. Số này được gọi là tọa độ của điểm đó. Khi biết tọa độ của một điểm, chúng ta có thể xác định được vị trí của nó trên trục.
Độ dài đại số
Độ dài đại số của một vector (overrightarrow {AB}) được ký hiệu là (a = overrightarrow {AB}). Để tính độ dài đại số này, chúng ta lấy hiệu của tọa độ của hai điểm (A, B) trên trục. Điều này giúp chúng ta biết được độ dài của vector từ điểm A đến điểm B.
Chú ý:
- Nếu vector (overrightarrow {AB}) hướng cùng với vector đơn vị (vec e) của trục thì độ dài đại số là dương, ngược lại, nó sẽ là âm.
- Nếu điểm A có tọa độ là (a) và điểm B có tọa độ là (b), thì độ dài đại số của vector (overrightarrow {AB}) được tính bằng hiệu của hai tọa độ (b – a).
Hệ trục tọa độ
Định nghĩa
Hệ trục tọa độ (O; overrightarrow i; overrightarrow j) bao gồm hai trục (O; overrightarrow i) và (O; overrightarrow j) vuông góc với nhau. Đây là hệ trục quen thuộc mà chúng ta thường sử dụng.
- O là gốc tọa độ.
- overrightarrow i là trục hoành.
- overrightarrow j là trục tung.
- Độ dài của overrightarrow i và overrightarrow j đều bằng 1.
Tọa độ vector
Một vector (overrightarrow u) có thể biểu diễn dưới dạng (overrightarrow u = xoverrightarrow i + yoverrightarrow j), trong đó (x; y) là tọa độ của vector đó. Hai vector sẽ bằng nhau khi và chỉ khi tọa độ tương ứng của chúng bằng nhau.
Tọa độ của một điểm
Với mỗi điểm (M) trong mặt phẳng tọa độ, tọa độ của vector (overrightarrow {OM}) được gọi là tọa độ của điểm (M). Ta có thể biểu diễn vector (overrightarrow {OM}) dưới dạng (overrightarrow {OM} = xoverrightarrow i + yoverrightarrow j), trong đó (x; y) là tọa độ của điểm (M).
Liên hệ giữa tọa độ của điểm và của vector
Với hai điểm (A({x_A};{y_A}); B({x_B};{y_B})), ta có vector (overrightarrow {AB}) có tọa độ ({x_B} – {x_A};{y_B} – {y_A}). Tọa độ của vector bằng hiệu của tọa độ của điểm cuối trừ đi tọa độ của điểm đầu.
Tọa độ của tổng, hiệu, tích của một số với một vector
Cho hai vector (overrightarrow u ({u_1};{u_2}); overrightarrow v ({v_1};{v_2})), ta có:
- overrightarrow u + overrightarrow v = ({u_1} + {v_1};{u_2} + {v_2})
- overrightarrow u – overrightarrow v = ({u_1} – {v_1};{u_2} – {v_2})
- koverrightarrow u = (k{u_1};k{u_2})
Tọa độ của trung điểm của đoạn thẳng và tọa độ trọng tâm của tam giác
Tọa độ trung điểm
Cho hai điểm (A({x_A};{y_A}); B({x_B};{y_B})), tọa độ của trung điểm (I({x_I};{y_I})) được tính theo công thức:
x_I = (x_A + x_B) / 2
y_I = (y_A + y_B) / 2
Tọa độ trọng tâm
Tam giác (ABC) có ba đỉnh (A({x_A};{y_A}); B({x_B};{y_B}); C({x_C};{y_C})). Trọng tâm (G) của tam giác có tọa độ:
x_G = (x_A + x_B + x_C) / 3
y_G = (y_A + y_B + y_C) / 3
Đây là bài viết giới thiệu về lý thuyết hệ trục tọa độ một cách ngắn gọn và dễ hiểu. Hy vọng nó đã giúp bạn có cái nhìn tổng quan về chủ đề này. Hãy tiếp tục khám phá và áp dụng lý thuyết này vào các bài tập và bài toán thực tế.
