Tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa căn lớp 9 là một trong những kiến thức quan trọng giúp các em học sinh giải được các dạng bài tập tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Vậy cách giải bài toán tìm GTLN, GTNN như thế nào? Mời các em học sinh hãy cùng tìm hiểu thông qua bài viết dưới đây nhé.
Mục lục
I. Định nghĩa GTLN, GTNN
Cho hàm số y = f(x).
Kí hiệu tập xác định của hàm số f(x) là D.
- Giá trị lớn nhất: m được gọi là giá trị lớn nhất của f(x) nếu:
f(x) ≤ m với mọi x ∈ D.
Kí hiệu: m = maxf(x) x ∈ D hoặc giá trị lớn nhất của y = m. - Giá trị nhỏ nhất: M được gọi là giá trị nhỏ nhất nếu:
f(x) ≥ m với mọi x ∈ D.
Kí hiệu: m = minf(x) x∈ D hoặc giá trị nhỏ nhất của y = M.
II. Cách giải bài toán tìm gtln, gtnn lớp 9
- Biến đổi biểu thức
Bước 1: Biến đổi biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một số không âm với hằng số.
Bước 2: Thực hiện tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
- Chứng minh biểu thức luôn dương hoặc luôn âm
Phương pháp:
- Để chứng minh biểu thức A luôn dương ta cần chỉ ra:
- Để chứng minh biểu thức A luôn âm ta cần chỉ ra:
- Sử dụng bất đẳng thức Cauchy
Cho hai số a, b không âm ta có:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b
- Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tích đẳng thức bằng không.
III. Bài tập tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa căn
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Gợi ý đáp án:
Điều kiện xác định x ≥ 0.
Để A đạt giá trị lớn nhất thì đạt giá trị nhỏ nhất.
Có …
Lại có …
Dấu “=” xảy ra …
Min…
Vậy Max…
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a. …
b. …
Gợi ý đáp án:
a. Điều kiện xác định …
Do …
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0.
Vậy GTLN của E bằng 1 khi x = 0.
b. Điều kiện xác định …
Do …
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0.
Vậy GTLN của D bằng 3/2 khi x = 0.
Bài viết liên quan:
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Gợi ý đáp án:
Điều kiện xác định:
Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi …
Bài 4: Cho biểu thức
a, Rút gọn A
b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Gợi ý đáp án:
Cách 1:
a, với x > 0, x ≠ 1
b, với x > 0, x ≠ 1
Với x > 0, x ≠ 1, áp dụng bất đẳng thức Cauchy có: …
Dấu “=” xảy ra (thỏa mãn)
Vậy max…
Cách 2: Thêm bớt rồi dùng bất đẳng thức Cauchy hoặc đánh giá dựa vào điều kiện đề bài.
Với điều kiện x > 0 và x ≠ 1 ta có:
Theo bất đẳng thức Cauchy ra có:
Như vậy P ≤ -5
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hay x = 1/9
Vậy giá trị lớn nhất của P là -5 khi và chỉ khi x = 1/9
Cách 3: Dùng miền giá trị để đánh giá
Với điều kiện x > 0 và x ≠ 1 ta có:
(P < 1)
Để tồn tại P thì phương trình (*) phải có nghiệm, tức là:
∆ = (P – 1)2 – 36 ≥ 0 ⇔ (P – 1)2 ≥ 36 ⇔ P – 1 ≤ -6 (Do P < 1) ⇔ P ≤ -5
Như vậy P ≤ -5 khi …
Vậy giá trị lớn nhất của P là -5 khi và chỉ khi x = 1/9
Bài 5: Cho biểu thức với x ≥ 0, x ≠ 4
a, Rút gọn A
b, Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Gợi ý đáp án:
a, với x ≥ 0, x ≠ 4
b, Có …
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 0
Vậy min…
…
Đây là một số bài tập về tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn trong bài toán ôn tập Toán lớp 9. Bài viết hy vọng sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về cách giải và áp dụng kiến thức này trong các bài tập tương tự. Chúc các em học tốt môn Toán 9 và đạt được kết quả cao trong kì thi sắp tới.
