Làm sao để viết phương trình của đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng trong không gian Oxyz? Hãy cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây để hiểu rõ hơn về cách làm và xem các ví dụ minh họa.
Mục lục
- 1. Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng trong Oxyz
- 1.1. Phương pháp:
- 1.2. Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P): 2x + y – z – 3=0 và (Q): x + y + z – 1=0.
- 1.3. Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của mặt phẳng (P): y – 2z + 3 = 0 và mặt phẳng tọa độ (Oyz).
- 1.4. Ví dụ 3: Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x + y + 1 = 0 và (Q): x – y + z – 1 = 0
Bạn có thể xem lại phần Lý thuyết và các dạng bài tập Phương trình đường thẳng trong Oxyz nếu cần nhắc lại kiến thức.
Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng trong Oxyz
- Cho mp(P): Ax + By + Cz + D = 0 và mp(Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0. Hãy viết phương trình đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).
Phương pháp:
Cách giải 1:
- Bước 1: Giải hệ và tìm một nghiệm (x0;y0;z0) bằng cách cho 1 trong 3 ẩn có giá trị xác định, sau đó giải hệ để tìm giá trị của 2 ẩn còn lại. Ta có được điểm M0(x0;y0;z0) ∈ (d).
- Bước 2: Vectơ chỉ phương của đường thẳng (d) là:
- Bước 3: Viết phương trình đường thẳng (d) qua M0 và có vectơ chỉ phương đã tìm được.
Cách giải 2:
- Bước 1: Tìm toạ độ 2 điểm A, B ∈ d. (Tìm 2 nghiệm của hệ 2 PT trên)
- Bước 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm AB.
Cách giải 3:
- Đặt 1 trong 3 ẩn bằng t (ví dụ x = t), giải hệ 2 PT với 2 ẩn còn lại theo t và suy ra phương trình tham số của d.
Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P): 2x + y – z – 3=0 và (Q): x + y + z – 1=0.
Lời giải:
- Ta tìm 2 điểm A, B nằm trên (d) là nghiệm của hệ phương trình:
- Cho z = 0 ⇒ x = 2 và y = – 1 ⇒ A(2;-1;0)
- Cho z = 1 ⇒ x = 4 và y = – 4 ⇒ B(4;-4;1)
- Phương trình đường thẳng (d) đi qua A(2;-1;0) và có vectơ chỉ phương là:
Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của mặt phẳng (P): y – 2z + 3 = 0 và mặt phẳng tọa độ (Oyz).
Lời giải:
Mặt phẳng (Oyz) có phương trình x= 0.
Điểm M (x; y; z) ∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:
Đặt z = t suy ra phương trình tham số của đường thẳng (d).
Ví dụ 3: Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x + y + 1 = 0 và (Q): x – y + z – 1 = 0
Lời giải:
- Vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (P) là:
- Vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (Q) là:
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là:
- Điểm M (x; y; z) ∈ d khi đó tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:
- Tìm một điểm thuộc đường thẳng d bằng cách cho x = 0 trong hệ (*)
- Ta có hệ
- Vậy điểm N(0;-1;0) thuộc đường thẳng d.
- Vậy phương trình đường thẳng d là:
