Trong không gian ba chiều $Oxyz,$ chúng ta thường gặp các bài toán liên quan đến đường thẳng đi qua một điểm và mặt phẳng cắt mặt cầu. Trong bài toán này, chúng ta sẽ tìm việc cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt sao cho khoảng cách giữa hai điểm này lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
Câu 1: Tìm giá trị của T
Chúng ta có mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 = 9$ với tâm $O(0, 0, 0)$ và bán kính $R = 3.$ Đồng thời, có điểm $M(1, 1, 2)$ và mặt phẳng $(P): x + y + z – 4 = 0.$ Giả sử đường thẳng $Delta$ đi qua $M,$ thuộc $(P)$ và cắt $(S)$ tại hai điểm $A, B$ sao cho khoảng cách $AB$ nhỏ nhất. Biết rằng $Delta$ có một vectơ chỉ phương $overrightarrow{u}(1, a, b)$. Hãy tính giá trị $T = a – b.$
A. $T = 0.$
B. $T = -1.$
C. $T = -2.$
D. $T = 1.$
Lời giải:
Mặt cầu $(S)$ có tâm $O,$ bán kính $R = 3.$ Khoảng cách từ $O$ đến $(P)$ là $d(O, (P)) = frac{4sqrt{3}}{3},$ và $OM = sqrt{6}.$
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên đường thẳng $d.$
Ta có $AB = 2sqrt{R^2 – OH^2} ge 2sqrt{R^2 – OM^2} = 2sqrt{3}.$
Vì $OH le OM = sqrt{6}.$
Dấu bằng xảy ra khi $d$ qua $M$ vuông góc với $OM.$ Vậy $overrightarrow{u}{Delta} = [overrightarrow{OM}, overrightarrow{n}{P}] = (-1, 1, 0) // (1, -1, 0) Rightarrow a = -1, b = 0 Rightarrow T = -1 – 0 = -1.$
Chọn đáp án B.
Câu 2: Tìm giá trị của T
Chúng ta tiếp tục xét bài toán với mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 = 9,$ điểm $M(1, 1, 2),$ và mặt phẳng $(P): x + y + z – 4 = 0.$ Hãy tìm đường thẳng $Delta$ đi qua $M,$ thuộc $(P)$ và cắt $(S)$ tại hai điểm $A, B$ sao cho khoảng cách $AB$ lớn nhất. Biết rằng $Delta$ có một vectơ chỉ phương $overrightarrow{u}(1, a, b)$. Hãy tính giá trị $T = a – b.$
A. $T = 3.$
B. $T = -1.$
C. $T = -2.$
D. $T = 1.$
Lời giải:
Mặt cầu $(S)$ có tâm $O,$ bán kính $R = 3.$ Khoảng cách từ $O$ đến $(P)$ là $d(O, (P)) = frac{4sqrt{3}}{3},$ và $OM = sqrt{6}.$
Gọi $H, K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $O$ lên đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P).$
Ta có $AB = 2sqrt{R^2 – OH^2} le 2sqrt{R^2 – OK^2} = 2sqrt{3^2 – left(frac{4sqrt{3}}{3}right)^2} = frac{2sqrt{33}}{3}.$ Vì $OH ge OK = d(O, (P)) = frac{4sqrt{3}}{3}.$
Dấu bằng xảy ra khi $d$ qua $M, K.$
Toạ độ của hình chiếu vuông góc $K$ của $O$ lên $(P)$ là nghiệm của hệ phương trình $begin{cases} x + y + z – 4 = 0 frac{x – 0}{1} = frac{y – 0}{1} = frac{z – 0}{1} end{cases} Rightarrow x = y = z = frac{4}{3} Rightarrow K left( frac{4}{3}, frac{4}{3}, frac{4}{3} right).$
Do đó, $overrightarrow{u}_{Delta} = overrightarrow{MK} = left( frac{1}{3}, frac{1}{3}, -frac{2}{3} right) // (1, 1, -2) Rightarrow a = 1, b = -2 Rightarrow T = 1 – (-2) = 3.$
Chọn đáp án A.
Khuyến mại đặc biệt
Nhân dịp chào đón năm học mới 2017 – 2018, Vted.vn có chương trình khuyến mại đặc biệt cho các khoá học môn Toán dành cho học sinh từ 2k2 trở đi. Dưới đây là các khoá học và mức học phí ưu đãi:
-
KHOÁ HỌC: PRO X – LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2018 TOÁN
- Học phí gốc: 1.200.000 VNĐ
- Học phí ưu đãi: 666.000 VNĐ
-
KHOÁ HỌC: PRO Z – NỀN TẢNG TOÁN 10 VỮNG CHẮC CHO TEEN 2K2
- Học phí gốc: 600.000 VNĐ
- Học phí ưu đãi: 299.000 VNĐ
-
KHOÁ HỌC: PRO Y – NỀN TẢNG TOÁN 11 VỮNG CHẮC CHO TEEN 2K1
- Học phí gốc: 600.000 VNĐ
- Học phí ưu đãi: 299.000 VNĐ
-
KHOÁ HỌC: PRO O – CHƯƠNG TRÌNH HỌC SINH GIỎI TOÁN 11
- Học phí gốc: 600.000 VNĐ
- Học phí ưu đãi: 299.000 VNĐ
Chương trình khuyến mại chỉ áp dụng cho đăng kí trước ngày 15 – 09 – 2017.
Đừng bỏ lỡ cơ hội sở hữu khoá PRO X với học phí chỉ 666.000 VNĐ tại Vted. Khoá học này sẽ giúp bạn chuẩn bị tốt cho kỳ thi THPT Quốc gia 2018 với nội dung bao gồm:
- Học toàn bộ 12 cơ bản và nâng cao đã giảm tải.
- Ôn tập kiến thức 11 có trong đề thi Toán 2018.
- Khoá luyện đề Toán 2018 cùng học.
Đăng kí ngay tại đây: https://goo.gl/7vS2mv
Thông tin chi tiết và đăng kí tại: https://vted.vn/khoa-hoc/xem/pro-x-luyen-thi-thpt-quoc-gia-mon-toan-2018-kh522847554.html
Khoá học PRO X bao gồm:
- Khoá luyện thi 2018
- Khoá luyện đề 2018
Khi tham gia khoá học PRO X, bạn sẽ được:
- Học toàn bộ kiến thức 12 từ cơ bản đến nâng cao, bao quát mọi dạng bài, rèn luyện ngân hàng đề thi phong phú và chất.
- Ôn tập lại toàn bộ 11 có trong chương trình thi 2018, dự kiến bộ công bố cấu trúc đề thi vào khoảng tháng 10 – 11.
- Rèn luyện kĩ năng làm đề với khoá luyện đề 2018 chất.
Ngoài ra, bạn còn được hỗ trợ bởi cộng đồng học sinh giỏi, Mod và giáo viên hàng đầu tại https://www.facebook.com/groups/vted.vn/.
Cơ hội giảm học phí PRO X chỉ còn 666.000 VNĐ so với học phí gốc 1.200.000 VNĐ.
Sưu tầm nhận xét của học viên về các khoá học tại Vted
Vted.vn – Học toán online chất lượng cao!
Đừng bị những lời mời mọc từ những thành phần không đáng tin cậy lừa dối. Hãy thông minh và từ chối những lời mời mọc đó.