Phương trình cấp một tổng quát có dạng F(x,y,y’) = 0. Nếu giải ra được đối với y’ thì phương trình có thể viết dưới dạng: y’ = f(x,y) (1) hoặc: dy/dx = f(x,y) hoặc: M(x,y)dx + N(x,y) dy = 0.
Mục lục
Chú ý quan trọng:
- Thông thường, ta nên tìm cách biến đổi phương trình về dạng (1) và phân tích f(x,y) ở vế phải để biết dạng. Đa số, các phương trình đều có thể đưa được về 1 trong 6 dạng sau: phân ly biến số, đẳng cấp (thuần nhất), phương trình đưa về pt đẳng cấp được, pt tuyến tính, pt Bernoulli và pt vi phân toàn phần.
- Nếu từ (1) ta không đưa pt về 1 trong 6 dạng trên được thì thử nghịch đảo phương trình (2) đưa phương trình về dạng x là hàm số theo biến y. Nghĩa là: x’ = 1/y’ = { 1/f(x,y)} = g(x,y) thì sẽ tìm được cách giải.
1. Bài toán cauchy (Bài toán điều kiện đầu):
Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm ptvp: y’ = f(x,y) thỏa mãn điều kiện đầu: y(x_0) = y_0
Nghĩa là: tìm đường cong y = y(x) đi qua điểm (x0;y0) và thỏa mãn pt (1)
2. Định lý Peano – Cauchy – Picard (định lý tồn tại và duy nhất nghiệm):
Nếu hàm số f(x,y) liên tục trong miền mở D ⊂ R^2, thì với mọi điểm (x_0;y_0) ∈ D, bài toán Cauchy (1), (2) có nghiệm xác định trong 1 lân cận của x0.
Ngoài ra, nếu đạo hàm riêng (∂f/∂y) cũng liên tục trong D thì nghiệm đó là duy nhất.
(ta công nhận định lý này, vì việc chứng minh vượt qua những kiến thức chúng ta được trang bị)
3. Nghiệm tổng quát:
Nghiệm tổng quát của pt (1) là hàm số φ (x,C) = y, phụ thuộc biến x, và hằng số C, và thỏa mãn các điều kiện:
- Nghiệm đúng ptvp với mọi giá trị cụ thể của C.
- Với bất kỳ điều kiện đầu y(x_0) = y_0 ta cũng có thể tìm được C = C_0 sao cho hàm số y = φ(x,C_0) thỏa mãn điều kiện đầu.
- Trong quá trình tìm nghiệm: nếu ta đi đến biểu thức φ(x,y,C) = 0 () mà không giải được đối với y thì y là hàm ẩn theo x, C xác định bởi pt () và (*) được gọi là tích phân tổng quát.
- Các nghiệm của phương trình không suy ra được từ nghiệm tổng quát được gọi là nghiệm kỳ dị.
4. Phương trình phân ly biến số (tách biến)
Là phương trình có dạng: y’ = f(x,y) = g(x).h(y) (hoặc M(x)dx+N(y)dy=0)
Nghĩa là: ở vế phải ta gom được x đứng riêng và y đứng riêng (hoặc M(x) chỉ là hàm theo 1 biến số x và N(y) chỉ là hàm theo 1 biến số y)
4.1 Cách giải:
Ta biến đổi như sau: (dy/dx) = g(x).h(y) ⇒ (dy/h(y)) = g(x)dx
Bằng cách lấy tích phân (vế trái theo y, vế phải theo x) ta được nghiệm tổng quát:
∫(dy/h(y)) = ∫g(x)dx + C
4.2 Ví dụ:
- Giải phương trình: x(y^2 -1) dx + y(x^2-1)dy = 0 (1)
Chuyển phương trình về dạng (1) ta có:
y’ = (dy/dx) = – (x/(x^2-1)).((y^2 – 1)/y) , x^2 -1 ≠ 0 , y^2 – 1 ≠ 0 (2)
Vậy: x tách riêng, và y tách riêng nên đây là phương trình tách biến.
Khi đó ta có:
(dy/(y^2-1)) = – (x/(x^2 -1)) ⇒ ∫(dy/(y^2-1)) = – ∫(x/(x^2 -1))
- Giải phương trình tgydx-xlnxdy=0
Ta có: (y’ = (dy/dx)) = (tgy)/xlnx (phương trình tách biến)
Do đó: (dy/(tgy)) = (dx/xlnx)
Suy ra: ∫(dy/(tgy)) = ∫(dx/xlnx) ⇒ ln(sinx) = ln(lnx) + lnC ⇒ siny = C.lnx
