Trong quá trình học cấp Trung học Cơ sở, các bạn học sinh khối 8 gặp nhiều khó khăn với những dạng toán mới như hằng đẳng thức ở đại số, các dạng hình học, tính chất và định lý của chúng. Tất cả nhằm chuẩn bị cho việc tiếp tục học lớp 9 và kỳ thi lên cấp Trung học Phổ thông quan trọng. Trong số những kiến thức mà các bạn cần chú trọng, kiến thức về bất phương trình rất quan trọng. Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn các bạn cách giải bất phương trình với đầy đủ lý thuyết cần thiết và bài tập để ôn luyện.
A. LÝ THUYẾT BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1. Bất phương trình một ẩn
- Bất phương trình một ẩn là kiểu bất phương trình có dạng f(x) > g(x) (hoặc f(x) < g(x); f(x) ≥ g(x); f(x) ≤ g(x)), trong đó f(x) và g(x) được gọi là hai biểu thức của biến x.
- Số x0 được gọi là nghiệm của bất phương trình f(x) < g(x). Nếu thay x0 vào bất phương trình thì ta được f(x0) < g(x0) là một khẳng định đúng. Khi giải bất phương trình ta tìm được tất cả các nghiệm hay còn gọi là tập nghiệm của bất phương trình đó.
- Hai bất phương trình khi có chung tập nghiệm thì được gọi là hai bất phương trình tương đương nhau.
- Phép biến đổi tương đương xảy ra khi biến một bất phương trình thành một bất phương trình tương đương.
Một số quy tắc biến đổi phương trình tương đương thường dùng tới là: - Chuyển vế: f(x) + h(x) > g(x) ⇔ f(x) > g(x) – h(x)
- Nhân (chia):
- f(x) > g(x) ⇔ f(x) . h(x) > g(x) . h(x) nếu h(x) > 0 với mọi x
- f(x) > g(x) ⇔ f(x) . h(x) < g(x) . h(x) nếu h(x) < 0 với mọi x
2. Bất phương trình bậc nhất một ẩn:
- Bất phương trình bậc nhất một ẩn là kiểu bất phương trình có dạng ax + b > 0 (hoặc ax + b < 0; ax + b ≥ 0; ax + b ≤ 0) trong đó số a, số b là các số cho trước và a ≠ 0.
- Giải bất phương trình ax + b > 0:
Ta có ⇔ ax > -b- Nếu a > 0 thì ⇔ x > -b/a.
3. Bất phương trình bậc hai một ẩn:
- Phương trình bậc hai một ẩn có dạng ax² + bx + c < 0 (hoặc ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c ≤ 0, ax² + bx + c ≥ 0)
Trong đó, x được gọi là ẩn; a, b, c là những số thực với a ≠ 0. - Giải bất phương trình bậc hai ax² + bx + c < 0 thực chất là tìm các khoảng mà trong đó f(x) = ax² + bx + c < 0 cùng dấu với hệ số a (trong trường hợp a < 0) hoặc trái dấu với hệ số a (trong trường hợp a > 0)
Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau: 3x² + 2x + 5 > 0
Đặt f(x) = 3x² + 2x + 5, ta có f(x) > 0 và a = 3 > 0, vậy nên f(x) luôn dương
Do đó tập nghiệm của bất phương trình là S = (-∞, +∞)
Ví dụ 2: f(x) = -2x² + 3x + 5, ta có a = -2 < 0 và f(x) = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = 5/2
Dựa vào bảng xét dấu ta có tập nghiệm của bất phương trình là: S = (-1;5/2)
4. Tập nghiệm của bất phương trình:
- Số x = 0 gọi là nghiệm của một bất phương trình nào đó nếu ta thay x = 0 vào bất phương trình và kết quả ta được là một bất đẳng thức đúng.
- Tập nghiệm của bất phương trình là tập hợp tất cả các nghiệm của bất phương trình đó. Khi ta có đề bài là giải bất phương trình thì có nghĩa là tìm tập nghiệm của bất phương trình đó.
- Hai bất phương trình được cho là tương đương nhau khi hai bất phương trình có cùng tập nghiệm.
- Ví dụ:
- Hình 1a biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình x > 2
- Hình 1b biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình x ≤ 4
5. Những quy tắc cần nhớ
- Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển vế một hạng tử trong một bất phương trình từ vế bên này sang vế bên kia thì ta phải đổi dấu hạng tử đó.
- Quy tắc nhân với một số:
Khi nhân hai vế của một bất phương trình với cùng một số khác số không, ta phải:
- Nếu số đó là số dương thì ta giữ nguyên chiều của bất phương trình.
- Nếu số đó là số âm thì ta phải đổi chiều của bất phương trình.
6. Các dạng toán và phương pháp giải bất phương trình
- Dạng 1: Xác định nghiệm hoặc tập nghiệm của một bất phương trình và biểu diễn nghiệm hoặc tập nghiệm đó trên trục số:
Phương pháp:
Ta sử dụng các quy tắc sau:
- Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển vế một hạng tử trong một bất phương trình từ vế bên này sang vế bên kia thì ta phải đổi dấu hạng tử đó.
- Quy tắc nhân với một số: Khi nhân hai vế của một bất phương trình với cùng một số khác số không, ta phải:
- Nếu số đó là số dương thì ta giữ nguyên chiều của bất phương trình.
- Nếu số đó là số âm thì ta phải đổi chiều của bất phương trình.
Ngoài ra, ta còn có thể sử dụng hằng đẳng thức hoặc quy đồng mẫu số để biến đổi bất phương trình.
-
Dạng 2: Xác định hai bất phương trình tương đương:
Phương pháp:
Bất phương trình tương đương: Hai bất phương trình được cho là tương đương nhau khi hai bất phương trình có cùng tập nghiệm. -
Dạng 3: Giải bất phương trình bậc hai.
Phương pháp: -
Bước 1: Biến đổi bất phương trình về dạng một vế là tam thức bậc hai, một vế bằng 0
-
Bước 2: Xét dấu vế trái của tam thức bậc hai và kết luận nghiệm.
-
Dạng 4: Giải bất phương trình tích.
Phương pháp: -
Bước 1: Biến đổi bất phương trình về dạng tích các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai.
-
Bước 2: Xét dấu các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai ở trên và kết luận nghiệm.
-
Dạng 5: Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu
Phương pháp: -
Bước 1: Biến đổi bất phương trình đã cho về dạng tích, thương các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai.
-
Bước 2: Xét dấu các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai ở trên và kết luận nghiệm.
Chú ý: Cần chú ý điều kiện xác định của bất phương trình. -
Dạng 6: Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình vô nghiệm – có nghiệm – nghiệm đúng
Phương pháp: -
Sử dụng một số tính chất: Bình phương, căn bậc hai, giá trị tuyệt đối của một biểu thức luôn không âm.
-
Dạng 7: Giải hệ bất phương trình bậc hai
Phương pháp: -
Bước 1: Giải từng bất phương trình có trong hệ.
-
Bước 2: Kết hợp nghiệm và kết luận.
B. BÀI TẬP BẤT PHƯƠNG TRÌNH
I. TRẮC NGHIỆM VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Câu 1: Bất phương trình ax + b > 0 vô nghiệm khi:
A) a ≠ 0 và b = 0
B) a > 0 và b = 0
C) a = 0 và b ≠ 0
D) a = 0 và b ≠ 0
Đáp án chính xác là: D
Câu 2: Tập nghiệm S của bất phương trình: 5x – 1 ≥ (2x/5) + 3 là?
A) S = R
B) x > 2
C) x < (-5)/2
D) x ≥ 20/23
Đáp án chính xác là: D
Câu 3: Bất phương trình [(3x + 5)/2] -1 ≤ [(x + 2)/3 + x] có bao nhiêu nghiệm là nghiệm nguyên lớn hơn 10?
A) 4
B) 5
C) 9
D) 10
Đáp án chính xác là: B
Câu 4: Tập nghiệm S của bất phương trình: (1 – √2)x < √2 – 2 là?
A) x > 2
B) x > √2
C) x < -√2
D) S = R
Đáp án chính xác là: B
Câu 5: Bất phương trình (2x – 1)(x + 3) – 3x + 1 ≤ (x – 1)(x + 3) + x² – 5 có tập nghiệm là?
A) x < -2/3
B) x ≥ -2/3
C) S = R
D) S = Ø
Đáp án chính xác là: D
Câu 6: Giải bất phương trình: 2x + 4 < 16
A) x > 6
B) x < 6
C) x < 8
D) x > 8
Đáp án chính xác là: B
Câu 7: Giải bất phương trình: 8x + 4 > 2(x + 5)
A) x > 2
B) x < -1
C) x > -1
D) x > 1
Đáp án chính xác là: D
Câu 8: Giải bất phương trình: (x + 2)/3 +3x + 1 > (x – 2)/2
A) x > -6/7
B) x < 6/5
C) x > -16/17
D) x > -6/11
Đáp án chính xác là: C
Câu 9: Giải bất phương trình: (x + 2)(x – 3) > (2 – x)(6 – x)
A) x > 18/7
B) x > 11/7
C) x < 15/7
D) x < 8/7
Đáp án chính xác là: A
Câu 10: Tìm m để x = 2 là nghiệm của bất phương trình: mx + 2 < x + 3 + m
A) m = 2
B) m < 3
C) m > 1
D) m < -3
Đáp án chính xác là: B
Câu 11: Những bất phương trình nào là bất phương trình một ẩn?
A) 2x – 3 < 0
B) 0.x + 5 > 0
C) 5x – 15 ≥ 0
D) x² > 0
Đáp án chính xác là: A và C
II. TỰ LUẬN VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH:
Bài 1: Giải các bất phương trình (theo quy tắc chuyển vế)
a) x – 3 > 5
b) 2x ≥ x + 2
c) 2x – 4 < 3x – 2
d) 2,5 – 2x ≤ -x – 3,5
e) 3x – 5 > 2(x – 1) + x
Hướng dẫn giải bài:
a) x – 3 > 5
⇔ x > 5 + 3
⇔ x > 8
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = {x|x > 8}
b) 2x ≥ x + 2
⇔ 2x – x ≥ 2
⇔ x ≥ 2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = {x|x ≥ 2}
c) 2x – 4 < 3x – 2
⇔ 3x – 2x > -4 + 2
⇔ x > -2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = {x|x > -2}
d) 2,5 – 2x ≤ -x – 3,5
⇔ 2,5 + 3,5 ≤ -x + 2x
⇔ x ≥ 6
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = {x|x ≥ 6}
e) 3x – 5 > 2(x – 1) + x
⇔ 3x – 5 > 2x – 2 + x
⇔ 3x – 3x > -2 + 5
⇔ 0x > 3
Vậy bất phương trình vô nghiệm
Bài 2: Giải các bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm của mỗi bất phương trình trên một trục số:
a) 2x – 3 > 3(x – 2)
b) (12x + 1)/12 ≤ (9x + 1)/3 – (8x + 1)/4
c) 5(x – 1) ≤ 6(x – 5/3)
d) (2x – 1)/2 – (x + 1)/6 ≥ (4x – 5)/3
Hướng dẫn giải bài:
a) Ta có:
2x – 3 > 3(x – 2)
⇔ 2x – 3 > 3x – 6
⇔ 6 – 3 > 3x – 2x
⇔ x < 3
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = {x|x < 3}
Biểu diễn trên trục số:
b) Ta có:
(12x + 1)/12 ≤ (9x + 1)/3 – (8x + 1)/4
⇔ (12x + 1)/12 ≤ [4(9x + 1) – 3(8x + 1)]/12
⇔ 12x + 1 ≤ 36x + 4 – 24x – 3
⇔ 12x + 1 ≤ 12x + 1 (luôn đúng với mọi giá trị x)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = R
Biểu diễn trên trục số:
c) Ta có:
5(x – 1) ≤ 6(x – 5/3)
⇔ 5x – 5 ≤ 6x – 10
⇔ 10 – 5 ≤ 6x – 5x
⇔ x ≥ 5
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = {x|x ≥ 5}
Biểu diễn trên trục số:
d) Ta có:
(2x – 1)/2 – (x + 1)/6 ≥ (4x – 5)/3
⇔ [3(2x – 1) – (x + 1)]/6 ≥ [2(4x – 5)]/6
⇔ 3(2x – 1) – (x + 1) ≥ 2(4x – 5)
⇔ 6x – 3 – x – 1 ≥ 8x – 10
⇔ 3x ≤ 6
⇔ x ≤ 2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = {x|x ≤ 2}
Biểu diễn trên trục số:
Bài 3: Giải các bất phương trình bậc hai một ẩn sau:
a) -3x² + 2x + 1 < 0
b) x² + x – 12 < 0
c) 5x² – 6√5x + 9 > 0
d) -36x² + 12x – 1 ≥ 0
Hướng dẫn giải bài:
a) Để giải bất phương trình -3x² + 2x + 1 < 0, ta thực hiện các bước sau:
- Tìm nghiệm của phương trình -3x² + 2x + 1 = 0
- Xét dấu của hàm số -3x² + 2x + 1 trên các khoảng xác định được từ các nghiệm của phương trình
- Kết luận tập nghiệm của bất phương trình
b) Để giải bất phương trình x² + x – 12 < 0, ta thực hiện các bước sau:
- Tìm nghiệm của phương trình x² + x – 12 = 0
- Xét dấu của hàm số x² + x – 12 trên các khoảng xác định được từ các nghiệm của phương trình
- Kết luận tập nghiệm của bất phương trình
c) Để giải bất phương trình 5x² – 6√5x + 9 > 0, ta thực hiện các bước sau:
- Tìm nghiệm của phương trình 5x² – 6√5x + 9 = 0
- Xét dấu của hàm số 5x² – 6√5x + 9 trên các khoảng xác định được từ các nghiệm của phương trình
- Kết luận tập nghiệm của bất phương trình
d) Để giải bất phương trình -36x² + 12x – 1 ≥ 0, ta thực hiện các bước sau:
- Tìm nghiệm của phương trình -36x² + 12x – 1 = 0
- Xét dấu của hàm số -36x² + 12x – 1 trên các khoảng xác định được từ các nghiệm của phương trình
- Kết luận tập nghiệm của bất phương trình
Bài viết xem thêm: Giải phương trình và bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Trên đây là cách giải bất phương trình mà HOCMAI muốn các bạn học sinh khối 8 tham khảo là luyện tập theo. Những lý thuyết bên trên rất cô đọng và được biên soạn gần gũi với sách giáo khoa, vì vậy chúng rất thực tiễn và áp dụng được vào bài tập ở trên lớp. Mặc dù bài tập trên đây khá cơ bản nhưng các bạn chỉ cần luyện tập nhiều lần là có thể thuộc được kiến thức bất phương trình này. Các bạn cũng đừng quên truy cập vào trang web hoctot.hocmai.vn để tìm thêm nhiều bài học bổ ích khác nhé!
