Hàm nhất biến là một khái niệm quan trọng trong toán học. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về cách khảo sát và vẽ đồ thị của hàm nhất biến.
Hàm nhất biến
Hàm nhất biến có dạng $y = frac{{ax + b}}{{cx + d}},quad ad neq bc.$
Tập xác định của hàm là $D = mathbb{R}backslash {{ frac{-d}{c}} }$.
Giới hạn và tiệm cận
-
Khi $x$ tiến tới ${ frac{-d}{c}}$, thì $y$ tiến tới $-infty$, và khi $x$ tiến tới ${ frac{-d}{c}}$, thì $y$ tiến tới $+infty$. Điều này cho ta phương trình của tiệm cận đứng là $x = frac{-d}{c}$.
-
Khi $x$ tiến tới $+infty$, thì $y$ tiến tới $frac{a}{c}$. Điều này cho ta phương trình của tiệm cận ngang là $y = frac{a}{c}$.
Cực trị
Hàm số không có cực trị vì đạo hàm của nó không đổi dấu.
Trục đối xứng
Trục đối xứng của đồ thị là đường thẳng đi qua giao điểm của hai tiệm cận, có tọa độ $Ileft(frac{-d}{c},frac{a}{c}right)$.
Tính đơn điệu
Tùy vào dấu của đạo hàm $y’$ mà ta xác định tính đơn điệu và đồ thị của hàm nhất biến.
- Khi $y’ < 0$:
- Khi $y’ > 0$:
Ví dụ
Ví dụ 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = frac{{4x + 1}}{{2x -1}}$.
Tập xác định là $D = mathbb{R}backslash {{frac{1}{2}} }$. Phương trình của tiệm cận đứng là $x = frac{1}{2}$, và phương trình của tiệm cận ngang là $y = 2$.
Sự biến thiên: Đạo hàm $y’ = – frac{6}{(2x – 1)^2} < 0$.
Ta có bảng biến thiên như sau:
| Khoảng | $(-infty, frac{1}{2})$ | $(frac{1}{2}, infty)$ |
|---|---|---|
| Đạo hàm $y’$ | ┈ | ─ |
| Sự biến thiên của hàm | Nghịch biến |
Đồ thị:
Ví dụ 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = frac{{2x + 1}}{{x + 1}}$.
Tập xác định là $D = mathbb{R} backslash {-1}$.
Phương trình của tiệm cận đứng là $x + 1 = 0$ và phương trình của tiệm cận ngang là $y – 2 = 0$.
Ta có bảng biến thiên như sau:
| Khoảng | $(-infty, -1)$ | $(-1, infty)$ |
|---|---|---|
| Đạo hàm $y’$ | + | + |
| Sự biến thiên của hàm | Đồng biến |
Đồ thị:
Ví dụ 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = frac{{-x + 3}}{{x – 1}}$.
Tập xác định là $D = mathbb{R} backslash {1}$.
Phương trình của tiệm cận đứng là $x – 1 = 0$ và phương trình của tiệm cận ngang là $y + 1 = 0$.
Ta có bảng biến thiên như sau:
| Khoảng | $(-infty, 1)$ | $(1, infty)$ |
|---|---|---|
| Đạo hàm $y’$ | – | – |
| Sự biến thiên của hàm | Nghịch biến |
Đồ thị:
