Định lý Vi – et là một định lý toán học quan trọng trong giải các bài toán liên quan đến phương trình đa thức. Nó giúp chúng ta có mối quan hệ giữa các nghiệm của phương trình và các hệ số của nó.
Mục lục
1. Định lý Vi-et
Định lý Vi-et là công thức toán học do nhà toán học Pháp François Viète tìm ra để biểu diễn mối quan hệ giữa các nghiệm của phương trình đa thức và các hệ số của nó. Định lý Vi-et có nhiều ứng dụng trong Toán học và là một phần quan trọng trong chương trình học toán ở cấp 2 và cấp 3.
2. Định lý Vi-et bậc 2
Đối với một phương trình bậc hai ax^2 + bx + c = 0 (trong đó a khác 0), nếu có hai nghiệm x1 và x2 thì ta có thể tính được tổng và tích của chúng thông qua định lý Vi-et. Ngược lại, nếu có hai số x1 và x2 thỏa mãn x1 + x2 = S và x1 * x2 = P, ta có thể biểu diễn phương trình bậc hai tương ứng là t^2 – St + P = 0, trong đó t là ẩn số.
Định lý Vi-et bậc 2 rất hữu ích trong việc giải các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai.
3. Ứng dụng của định lý Vi-et bậc 2
-
Dạng 1: Biểu thức liên hệ giữa 2 nghiệm
Trong việc giải các bài tập dạng này, chúng ta cần biểu diễn các biểu thức qua tổng và tích của hai nghiệm để sử dụng định lý Vi-et. Các hằng đẳng thức thông thường được sử dụng là:
a^2 + b^2 = (a + b)^2 – 2ab
a^3 + b^3 = (a + b)^3 – 3ab(a + b) -
Dạng 2: Hệ đối xứng hai ẩn kiểu 1
Đối với hệ đối xứng kiểu 1, ta có một hệ gồm hai phương trình hai ẩn. Nếu ta hoán đổi vai trò của các ẩn trong từng phương trình, thì mỗi phương trình không thay đổi. Để giải hệ đối xứng kiểu 1 bằng cách sử dụng định lý Vi-et, ta biểu diễn các phương trình qua tổng và tích của hai ẩn đó. Các hằng đẳng thức thường được sử dụng là:
a^2 + b^2 = (a + b)^2 – 2ab
a^3 + b^3 = (a + b)^3 – 3ab(a + b)
(a^2)^2 + (b^2)^2 = (a^2 + b^2)^2 – 2a^2b^2 -
Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức
Định lý Vi-et cũng có thể được sử dụng để chứng minh bất đẳng thức. Thông thường, ta sẽ biến đổi các dữ kiện của bài toán về dạng tổng và tích của ẩn. Quá trình chứng minh có thể sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, các bất đẳng thức cổ điển và các phép biến đổi tương đương. -
Dạng 4: Ứng dụng vào bài toán tính cực trị của hàm số
Định lý Vi-et cũng có thể được áp dụng để giải quyết bài toán tính cực trị của hàm số. Đây là dạng bài tập phổ biến trong các đề thi Đại học. Quan trọng là biểu diễn tọa độ điểm cực trị một cách gọn gang và nhanh chóng. -
Dạng 5: Ứng dụng vào bài toán tiếp tuyến
Bài tập về tiếp tuyến thường liên quan đến các điều kiện tiếp xúc của đường cong và đường thẳng. Chúng ta cần biểu diễn tọa độ điểm tiếp xúc thông qua phương trình đồng thời và sử dụng định lý Vi-et. Các kỹ thuật về nhẩm nghiệm cũng cần được sử dụng. -
Dạng 6: Tương giao của 2 đồ thị và tập hợp điểm
Đây là dạng bài tập hay gặp trong các kỳ thi tuyển sinh. Chúng ta cần viết phương trình hoành độ giao điểm và biểu diễn các biểu thức yêu cầu qua hệ số của phương trình. Cuối cùng, ta có thể đánh giá biểu thức đó thông qua hệ số đã thay vào. -
Dạng 7: Ứng dụng của 1 hệ thức truy hồi
Việc ứng dụng hệ thức truy hồi tuyến tính giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán từ cơ bản đến nâng cao. -
Dạng 8: So sánh nghiệm của tam thức bậc 2 với 1 số
Bài toán định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai và bài toán so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số thực không còn được trình bày trong chương trình học chính khóa nhưng nếu học sinh biết sử dụng định lý đảo và bài toán so sánh nghiệm, lời giải sẽ ngắn gọn hơn rất nhiều.
4. Định lý Vi-et bậc 3
Đối với một phương trình bậc ba ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 (trong đó a khác 0), nếu có ba nghiệm x1, x2, x3 thì ta có thể tính được tổng, tổng tích và tích của chúng thông qua định lý Vi-et.
Dịch đoạn họi “Xem thêm” sẽ làm nội dung bài viết trở nên mất tính liên kết, tốt nhất là loại bỏ nó để giữ bài viết chỉ tập trung vào định lý Vi-et và ứng dụng của nó.
