Hãy cùng tìm hiểu cách tìm tập xác định của các hàm số lượng giác một cách đơn giản và dễ hiểu.
Cách tìm tập xác định của $sinx$ và $cosx$
Hai hàm số $y=sinx$ và $y=cosx$ xác định với mọi giá trị của $x$ thuộc R. Tập giá trị của hai hàm số này luôn nằm trong đoạn $[-1, 1]$.
Cách tìm tập xác định của $tanx$ và $cotx$
Hàm số $y=tanx=dfrac{sinx}{cosx}$ xác định khi $cosx neq 0$, tức là $x neq dfrac{pi}{2}+kpi$.
Hàm số $y=cotx=dfrac{cosx}{sinx}$ xác định khi $sinx neq 0$, tức là $x neq kpi$.
Dựa vào như vậy, ta có thể tổng kết điều kiện xác định của các hàm số lượng giác như sau:
- $y=sin[u(x)]$ xác định khi và chỉ khi $u(x)$ xác định.
- $y=cos[u(x)]$ xác định khi và chỉ khi $u(x)$ xác định.
- $y=tan[u(x)]=dfrac{sin[u(x)]}{cos[u(x)]}$ xác định khi và chỉ khi $cos[u(x)] neq 0$, hay $u(x) neq dfrac{pi}{2}+kpi$.
- $y=cot[u(x)]=dfrac{cos[u(x)]}{sin[u(x)]}$ xác định khi và chỉ khi $sin[u(x)] neq 0$, hay $u(x) neq kpi$.
Nếu hàm $u(x)$ được biểu diễn dưới dạng hàm phân thức, ta cần chú ý đến cách tìm điều kiện xác định của hàm phân thức.
Hướng dẫn tìm tập xác định
Hãy xem những ví dụ sau đây để hiểu hơn về cách tìm tập xác định của các hàm số lượng giác.
Ví dụ 1:
Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a. $y=sinleft(dfrac{2}{x-2}right)$
b. $y=cosleft(sqrt{x^2-1}right)$
c. $y=sqrt{2-cosx}$
d. $y=dfrac{sin(x+2)}{cos(x-1)}$
Hướng dẫn:
a. Điều kiện xác định của hàm số là: $x-2 neq 0$, tức là $x neq 2$. Vậy tập xác định của hàm số là: $D=mathbb{R} setminus {2}$.
b. Điều kiện xác định của hàm số là: $x^2-1 geq 0$, tức là $x^2 geq 1$, hay $x leq -1$ hoặc $x geq 1$. Vậy tập xác định của hàm số là: $D=(-infty;-1] cup [1;+infty)$.
c. Vì $-1 leq cosx leq 1$ nên $2-cosx>0$ với mọi $x$. Vậy tập xác định của hàm số là: $D=mathbb{R}$.
d. Điều kiện xác định của hàm số là: $cos(x-1) neq 0$, tức là $x-1 neq dfrac{pi}{2}+kpi$, hay $x neq dfrac{pi}{2}+1+kpi$. Vậy tập xác định của hàm số là: $D=mathbb{R} setminus left{dfrac{pi}{2}+1+kpi, k in mathbb{Z}right}$.
Ví dụ 2:
Tìm tập xác định của các hàm số lượng giác sau:
a. $y=tan(x+2)$
b. $y=cotleft(x+dfrac{pi}{3}right)$
c. $y=dfrac{sinx}{1+2cosx}$
d. $y=dfrac{tan2x}{sin3x-cos4x}$
Hướng dẫn:
a. Điều kiện xác định của hàm số là: $cos(x+2) neq 0$, tức là $x+2 neq dfrac{pi}{2}+kpi$, hay $x neq dfrac{pi}{2}-2+kpi$. Vậy tập xác định của hàm số là: $D=mathbb{R} setminus left{dfrac{pi}{2}-2+kpi, k in mathbb{Z}right}$.
b. Điều kiện xác định của hàm số là: $sinleft(x+dfrac{pi}{3}right) neq 0$, tức là $ x+dfrac{pi}{3} neq kpi$, hay $ x neq -dfrac{pi}{3}+kpi$. Vậy tập xác định của hàm số là: $D=mathbb{R} setminus left{-dfrac{pi}{3}+kpi, k in mathbb{Z}right}$.
c. Điều kiện xác định của hàm số là: $1+2cosx neq 0$, tức là $2cosx neq -1$, hay $cosx neq -dfrac{1}{2}$, hay $cosx neq cosleft(dfrac{2pi}{3}right)$, hay $ x neq pmdfrac{2pi}{3}+k2pi$. Vậy tập xác định của hàm số là: $D=mathbb{R} setminus left{pmdfrac{2pi}{3}+k2pi, k in mathbb{Z}right}$.
d. Điều kiện xác định của hàm số là:
$ left{ begin{array}{ll} cos2x neq 0 sin3x neq cos4x end{array} right. $
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{ll} 2x neq dfrac{pi}{2}+kp sin3x neq sinleft(dfrac{pi}{2}-4xright) end{array} right. $
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{ll} x neq dfrac{pi}{4}+dfrac{kpi}{2} 3x neq dfrac{pi}{2}-4x+k2pi 3x neq pi-left(dfrac{pi}{2}-4xright)+k2pi end{array} right. $
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{ll} x neq dfrac{pi}{4}+dfrac{kpi}{2} x neq dfrac{pi}{14}+dfrac{k2pi}{7} x neq -dfrac{pi}{2}+k2pi end{array} right. $
Vậy tập xác định của hàm số là: $D=mathbb{R} setminus left{dfrac{pi}{4}+dfrac{kpi}{2}, dfrac{pi}{14}+dfrac{k2pi}{7}, -dfrac{pi}{2}+k2pi, k in mathbb{Z}right}$.
Qua những ví dụ trên, bạn đã nắm rõ cách tìm tập xác định của các hàm số lượng giác. Hãy áp dụng những phương pháp này cho những bài tập khác nhé!
