Hầu hết chúng ta đã từng nghe qua khái niệm về điểm cực đại và điểm cực tiểu trong hàm số. Nhưng bạn có biết cách xác định chúng không? Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về cách xác định điểm cực trị của một hàm số.
Mục lục
Định nghĩa điểm cực đại và điểm cực tiểu
Đầu tiên, hãy xem xét một hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên khoảng $(a;b)$ (trong đó $a$ có thể là $-infty$ và $b$ là $+infty$) và một điểm $x_0$ nằm trong khoảng $(a;b)$.
a) Nếu tồn tại số $h>0$ sao cho $f(x)<f(x_0)$ với mọi $x$ thuộc khoảng $(x_0-h;x_0+h)$ và $xneq x_0$, chúng ta nói hàm số $f(x)$ đạt điểm cực đại tại $x_0$.
b) Nếu tồn tại số $h>0$ sao cho $f(x)>f(x_0)$ với mọi $x$ thuộc khoảng $(x_0-h;x_0+h)$ và $xneq x_0$, chúng ta nói hàm số $f(x)$ đạt điểm cực tiểu tại $x_0$.
Chú ý về điểm cực trị
-
Nếu hàm số $f(x)$ đạt điểm cực đại (cực tiểu) tại điểm $x_0$, thì $x_0$ được gọi là “điểm cực đại” (“điểm cực tiểu”) của hàm số. Giá trị $f(x0)$ được gọi là “giá trị cực đại” (“giá trị cực tiểu”) của hàm số, ký hiệu là $f{CD}(f_{CT})$. Điểm $M(x_0;f(x_0))$ được gọi là “điểm cực đại” (“điểm cực tiểu”) của đồ thị hàm số.
-
Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.
-
Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $(a;b)$ và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại $x_0$, thì $f'(x_0)=0$.
Định lý 1: Xác định điểm cực trị bằng đạo hàm
Giả sử hàm số $y=f(x)$ liên tục trên khoảng $K=(x_0-h;x_0+h)$ và có đạo hàm trên $K$ hoặc trừ điểm $x_0$, với $h>0$.
-
Nếu $f'(x_0)>0$ trên khoảng $(x_0-h;x_0)$ và $f'(x_0)<0$ trên khoảng $(x_0;x_0+h)$, thì $x_0$ là điểm cực đại của hàm số $f(x)$.
-
Nếu $f'(x_0)<0$ trên khoảng $(x_0-h;x_0)$ và $f'(x_0)>0$ trên khoảng $(x_0;x_0+h)$, thì $x_0$ là điểm cực tiểu của hàm số $f(x)$.
Nhận xét: Xét hàm số $y=f(x)$ liên tục và xác định trên $(a;b)$ và $x_0$ nằm trong $(a;b)$.
-
Nếu $f'(x)$ đổi dấu khi qua điểm $x_0$, thì $x_0$ là điểm cực trị của hàm số.
-
Nếu $f'(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm $x_0$, thì $x_0$ là điểm cực đại của hàm số.
-
Nếu $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm $x_0$, thì $x_0$ là điểm cực tiểu của hàm số.
Chú ý: Hàm số $y=sqrt{x^2}=|x|$ không có đạo hàm tại điểm $x=0$, tuy nhiên, đạo hàm của nó vẫn đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm $x=0$, vì vậy hàm số này đạt điểm cực tiểu tại điểm $x=0$.
Định lý 2: Xác định điểm cực đại và điểm cực tiểu bằng đạo hàm cấp hai
Giả sử hàm số có đạo hàm cấp hai trong một khoảng.
-
Nếu $begin{cases} f'(x_0)=0 f”(x_0)>0 end{cases}$, thì $x_0$ là điểm cực tiểu.
-
Nếu $begin{cases} f'(x_0)=0 f”(x_0)<0 end{cases}$, thì $x_0$ là điểm cực đại.
Chú ý: Nếu $f'(x_0)=0$ và $f”(x_0)=0$, thì chưa thể khẳng định được $x_0$ là điểm cực đại hay điểm cực tiểu hay cực trị của hàm số.
Bài tập: Hãy xem xét hai hàm số $y=x^3$ và $y=x^4$. Cả hai đều có $begin{cases} f'(0)=0 f”(0)=0 end{cases}$. Tuy nhiên, hàm số thứ nhất không đạt cực trị tại điểm $x=0$, trong khi hàm số thứ hai đạt cực tiểu tại điểm đó.
Vì vậy, chúng ta chú ý rằng “định lý 2” chỉ đúng theo một chiều (không có chiều ngược lại).