Bài viết này sẽ hướng dẫn cách tính căn bậc n của số phức bằng cách sử dụng công thức Moa-vrơ (Moivre). Chúng ta sẽ đi qua quá trình thiết lập công thức tổng quát và minh họa bằng các ví dụ cụ thể đi kèm với lời giải chi tiết.
Phương pháp 1: Tính căn bậc hai của số phức
Căn bậc hai của một số phức z là một số phức w sao cho w^2 = z.
- Căn bậc hai của 0 bằng 0.
- Với z không bằng 0 và z = r(cosφ + isinφ) với r > 0. Đặt w = R(cosθ + isinθ) với R > 0, ta có:
- w^2 = z ⇔ R^2(cos2θ + isin2θ) = r(cosφ + isinφ) ⇔
- left{ begin{array}{l} R^2 = r 2θ = φ + k2π, k ∈ Z end{array} right. ⇔
- left{ begin{array}{l} R = sqrt{r} θ = frac{φ}{2} + kπ, k ∈ Z end{array} right.
Từ đó, ta suy ra số phức z = r(cosφ + isinφ) có 2 căn bậc hai là:
- w₁ = √r(cos(φ/2) + isin(φ/2))
- w₂ = √r(cos(φ/2 + π) + isin(φ/2 + π)) = -√r(cos(φ/2) + isin(φ/2))
Phương pháp 2: Tính căn bậc n của số phức
Căn bậc n của một số phức z là một số phức w sao cho w^n = z.
- Với z không bằng 0 và z = r(cosφ + isinφ) với r > 0. Đặt w = R(cosθ + isinθ) với R > 0, ta có:
- w^n = z ⇔ R^n(cosnθ + isinnθ) = r(cosφ + isinφ) ⇔
- left{ begin{array}{l} R^n = r nθ = φ + k2π, k ∈ Z end{array} right. ⇔
- left{ begin{array}{l} R = sqrt[n]{r} θ = frac{φ}{n} + frac{k2π}{n}, k ∈ Z end{array} right.
Bằng cách chọn k = 0, 1, 2, …, n-1, ta có n căn bậc n của z:
Bài viết liên quan:
- w₁ = ∛r(cos(φ/n) + isin(φ/n))
- w₂ = ∛r(cos(φ/n + 2π/n) + isin(φ/n + 2π/n))
- …
- wₙ = ∛r(cos(φ/n + 2π(n-1)/n) + isin(φ/n + 2π(n-1)/n))
Ví dụ 1: Tìm căn bậc hai của số phức w = 1/2 + √3/2i.
Ta có w = 1/2 + √3/2i = cos(π/3) + isin(π/3).
Đặt z = r(cosφ + isinφ) với r > 0 là căn bậc hai của w, ta có:
- z^2 = w ⇔ r^2(cos2φ + isin2φ) = cos(π/3) + isin(π/3) ⇔
- left{ begin{array}{l} r = 1 2φ = π/3 + k2π, k ∈ Z end{array} right. ⇔
- left{ begin{array}{l} r = 1 φ = π/6 + kπ, k ∈ Z end{array} right.
Vậy w có hai căn bậc hai là:
- z₁ = cos(π/6) + isin(π/6)
- z₂ = cos(7π/6) + isin(7π/6)
Ví dụ 2: Tính căn bậc ba của số phức w = -1 + √3i.
Ta có w = -1 + √3i = 2(-1/2 + (√3/2)i) = 2(cos(2π/3) + isin(2π/3)).
Suy ra w có môđun R = 2 và một argument θ = 2π/3.
Do đó, căn bậc ba của w là số phức z có: môđun r = ∛2 và một argument φ = θ/3 + k2π/3 = 2π/9 + k2π/3, k ∈ Z.
Lấy k = 0, 1, 2 ta có ba giá trị của φ: φ₁ = 2π/9, φ₂ = 2π/9 + 2π/3 = 8π/9, φ₃ = 2π/9 + 4π/3 = 14π/9.
Vậy w = -1 + √3i có 3 căn bậc ba là: z₁ = ∛2(cos(2π/9) + isin(2π/9)), z₂ = ∛2(cos(8π/9) + isin(8π/9)), z₃ = ∛2(cos(14π/9) + isin(14π/9)).
Ví dụ 3: Tính căn bậc bốn của số phức w = i.
Ta có w = i = cos(π/2) + isin(π/2) có môđun R = 1 và một argument θ = π/2.
Suy ra căn bậc bốn của w là số phức z có: môđun r = 1 và một argument φ = θ/4 + k2π/4 = π/8 + kπ/2, k ∈ Z.
Lấy k = 0, 1, 2, 3 ta có 4 giá trị của φ: φ₁ = π/8, φ₂ = π/8 + π/2 = 5π/8, φ₃ = π/8 + π = 9π/8, φ₄ = π/8 + 3π/2 = 13π/8.
