Phương pháp quy nạp toán học là gì?
- Phương pháp quy nạp toán học là cách chứng minh một mệnh đề với mọi tập hợp được sắp xếp theo thứ tự. Thường được áp dụng để chứng minh các mệnh đề trong tập hợp các số tự nhiên.
- Phương pháp quy nạp toán học bao gồm 2 bước:
- Bước 1: Gọi là bước cơ sở, chứng minh mệnh đề đúng với số tự nhiên đầu tiên.
- Bước 2: Gọi là bước quy nạp, chứng minh mệnh đề giả định đúng với mọi số tự nhiên.
Áp dụng phương pháp quy nạp toán học chứng minh mệnh đề
- Đối với các mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n, không thể chứng minh trực tiếp từng số một. Ta thực hiện theo các bước sau:
- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.
- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì n = k (0 < k < 1).
- Bước 3: Chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1.
- Tổng quát: Để chứng minh mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n, ta thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề P(n) đúng với số tự nhiên no.
- Bước 2: Giả sử mệnh đề P(n) đúng khi n = k (0 < k < no).
- Bước 3: Chứng minh P(n) đúng khi n = k + 1.
=> Theo nguyên lý quy nạp, P(n) đúng với mọi n < no.
Các dạng bài tập áp dụng phương pháp quy nạp toán học
Dạng bài chứng minh đẳng thức – bất đẳng thức
Ví dụ 1: Chứng minh 1 + 3 + 5 + … + (2n + 1) = n^2 với n là số tự nhiên.
Lời giải:
- Khi n = 1, ta có: 1 = 1^2 = 1 (luôn đúng).
- Giả sử mệnh đề đúng khi n = k (0 < k < n), ta phải chứng minh được:
Sk+1 = 1 + 3 + 5 +…+ (2k – 1) + 2[2(k + 1) – 1] = (k + 1)^2
=> Sk+1 = Sk + [2(k + 1) – 1] = k^2 + 2k + 1 = (k + 1)^2
Vậy mệnh đề 1 luôn đúng với mọi n là số tự nhiên.
Ví dụ 2: Chứng minh 2n > 2n + 1 luôn đúng với mọi số tự nhiên n > 3.
Lời giải:
- Khi n = 3, ta có: 2^3 = 8 > 2.3 + 1 = 7
- Giả sử mệnh đề đúng với n = k (0 < k < 3; k là số tự nhiên) => 2k > 2k + 1
=> Ta cần chứng minh đúng với n = k + 1
=> 2k+1 > 2(k + 1) + 1 = 2k+1 > 2k + 3 - Nhân cả 2 vế của bất đẳng thức trên với 2, ta có:
2.2k > 2k + 2k + 2 => 2k+1 > 2k + 2k + 2
Vì k > 3 nên 2k > 6. Do đó, 2k+1 > 2k + 6 + 2 => 2k+1 > 2k + 3
=> Bất đẳng thức đúng với n = k + 1 => Điều cần chứng minh.
Dạng bài toán chia hết
Ví dụ 1: Chứng minh un = n^3 + 3n^2 + 5n chia hết cho 6 với mọi n là số nguyên dương.
Lời giải:
- Với n = 1, ta có: u1 = 1^3 + 3.1^2 + 5.1 = 9
=> Mệnh đề đúng với n = 1. - Giả sử mệnh đề đúng với n = k (0 < k < 1, k là số nguyên dương) => uk = k^3 + 3k^2 + 5k
- Ta cần chứng minh: uk+1 = (k + 1)^3 + 3(k + 1)^2 + 5(k + 1)
=> uk+1 = (k + 1)^3 + 3(k + 1)^2 + 5(k + 1)
= k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 3(k + 1)^2 + 5k + 5
= (k^3 + 3k^2 + 5k) + 3(k + 1)^2 + 3k + 6
Vì k^3 + 3k^2 + 5k chia hết cho 6, 3(k + 1)^2 chia hết cho 6, 3k chia hết cho 6, và 6 chia hết cho 6
=> uk+1 chia hết cho 6
=> (1) luôn đúng với n = k + 1 => Điều cần chứng minh.
Ví dụ 2: Chứng minh 2^n > 2^(n + 1) luôn đúng với mọi số tự nhiên n > 1.
Lời giải:
- Khi n = 2, ta có: 2^2 = 4 > 2^2+1 = 2^3 = 8
- Giả sử mệnh đề đúng với n = k (0 < k < 1, k là số nguyên dương) => 2^k > 2^(k + 1)
=> Ta cần chứng minh đúng với n = k + 1
=> 2^(k + 1) > 2^(k + 1 + 1) = 2^(k + 2)
=> 2^(k + 1) > 2^(k + 2)
Vì 2^k > 2^(k + 1) đúng theo giả thiết và 2^(k + 1) > 2^(k + 2) là một bất đẳng thức đúng
=> Bất đẳng thức đúng với n = k + 1 => Điều cần chứng minh.
Thông qua những thông tin trong bài viết, hy vọng các bạn có thể nắm chắc kiến thức về phương pháp quy nạp toán học trong chương trình toán 11 để áp dụng giải các dạng bài chứng minh mệnh đề chính xác nhất. Để học thêm nhiều bài giảng bổ ích và thú vị khác về môn toán hay các môn học khác, hãy truy cập ngay trang web vuihoc.vn để đăng ký tài khoản và bắt đầu quá trình học tập của mình nhé!
