Hãy cùng chúng tôi khám phá những đẳng thức lượng giác thú vị và chứng minh rằng chúng không phụ thuộc vào giá trị $x$. Những đẳng thức này sẽ giúp chúng ta hiểu sâu hơn về mối quan hệ giữa các hàm lượng giác và mang lại những phép chứng minh thú vị.
Mục lục
Phương Pháp Giải
Chúng ta sẽ sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản, tính chất của giá trị lượng giác, và các hằng đẳng thức đáng nhớ để chứng minh các đẳng thức.
Các Ví Dụ
Ví dụ 1
Chúng ta sẽ chứng minh các đẳng thức sau đây:
a) ${sin^4}x + {cos^4}x = 1 – 2{sin^2}x.{cos^2}x.$
b) $frac{{1 + cot x}}{{1 – cot x}} = frac{{tan x + 1}}{{tan x – 1}}.$
c) $frac{{cos x + sin x}}{{{{cos}^3}x}} = {tan^3}x + {tan^2}x + tan x + 1.$
a) ${sin^4}x + {cos^4}x = {sin^4}x + {cos^4}x + 2{sin^2}x{cos^2}x – 2{sin^2}x{cos^2}x = {left({{sin^2}x + {cos^2}x}right)^2 – 2{sin^2}x{cos^2}x = 1 – 2{sin^2}x{cos^2}x.$
b) $frac{{1 + cot x}}{{1 – cot x}} = frac{{1 + frac{1}{{tan x}}}}{{1 – frac{1}{{tan x}}}} = frac{{frac{{tan x + 1}}{{tan x}}}}{{frac{{tan x – 1}}{{tan x}}}} = frac{{tan x + 1}}{{tan x – 1}}.$
c) $frac{{cos x + sin x}}{{{{cos}^3}x}} = frac{1}{{{{cos}^2}x}} + frac{{sin x}}{{{{cos}^3}x}} = {tan^2}x + 1 + tan x{left({{tan^2}x + 1}right)} = {tan^3}x + {tan^2}x + tan x + 1.$
Ví dụ 2
Chúng ta sẽ chứng minh rằng trong tam giác $ABC$,
$frac{{{{sin}^3}frac{B}{2}}}{{cosleft(frac{A + C}{2}right)}} + frac{{{{cos}^3}frac{B}{2}}}{{sinleft(frac{A + C}{2}right)}} – frac{{cos(A + C)}}{{sin B}}.tan B = 2.$
Vì $A + B + C = {180^0}$, ta có:
$VT = frac{{{{sin}^3}frac{B}{2}}}{{cosleft(frac{{180^0 – B}}{2}right)}} + frac{{{{cos}^3}frac{B}{2}}}{{sinleft(frac{{180^0 – B}}{2}right)}} – frac{{cosleft(180^0 – Bright)}}{{sin B}}.tan B.$
$= frac{{{{sin}^3}frac{B}{2}}}{{sinfrac{B}{2}}} + frac{{{{cos}^3}frac{B}{2}}}{{cosfrac{B}{2}}}$
$- frac{{- cos B}}{{sin B}}.tan B$
$= {sin^2}frac{B}{2} + {cos^2}frac{B}{2} + 1$
$= 2 = VP.$
Vậy chúng ta đã chứng minh được đẳng thức trên.
Ví dụ 3
Chúng ta sẽ đơn giản các biểu thức sau đây:
a) $A = sinleft({{90^0} – x}right) + cosleft({{180^0} – x}right) + {sin^2}xleft(1 + {tan^2}xright) – {tan^2}x.$
b) $B = frac{1}{{sin x}}.sqrt{frac{1}{{1 + cos x}} + frac{1}{{1 – cos x}}}- sqrt 2.$
a) $A = cos x – cos x + {sin^2}xfrac{1}{{{{cos}^2}x}} – {tan^2}x = 0.$
b) $B = frac{1}{{sin x}}.sqrt{frac{2}{{1 – {{cos}^2}x}}}- sqrt 2 = frac{1}{{sin x}}.sqrt{frac{2}{{{{sin}^2}x}}}- sqrt 2 = sqrt 2left(frac{1}{{{{sin}^2}x}} – 1right) = sqrt 2{cot^2}x.$
Ví dụ 4
Chúng ta sẽ chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào $x$:
$P = sqrt{{{{sin}^4}x + 6{{cos}^2}x + 3{{cos}^4}x}} + sqrt{{{{cos}^4}x + 6{{sin}^2}x + 3{{sin}^4}x}}.$
$P = sqrt{{{{left(1 – {{cos}^2}xright)}^2} + 6{{cos}^2}x + 3{{cos}^4}x}} + sqrt{{{{left(1 – {{sin}^2}xright)}^2} + 6{{sin}^2}x + 3{{sin}^4}x}}.$
$ = sqrt{{4{{cos}^4}x + 4{{cos}^2}x + 1}} + sqrt{{4{{sin}^4}x + 4{{sin}^2}x + 1}}.$
$ = 2{cos^2}x + 1 + 2{sin^2}x + 1.$
$ = 3.$ Vậy $P$ không phụ thuộc vào $x$.
Bài Tập Luyện Tập
Bài 1: Chúng ta sẽ chứng minh các đẳng thức sau đây:
a) ${tan^2}x – {sin^2}x = {tan^2}x.{sin^2}x.$
b) ${sin^6}x + {cos^6}x = 1 – 3{sin^2}x.{cos^2}x.$
c) $frac{{{{tan^3}x}}}{{{{sin^2}x}}} – frac{1}{{sin xcos x}} + frac{{{{cot^3}x}}}{{{{cos^2}x}}} = {tan^3}x + {cot^3}x.$
d) ${sin^2}x – {tan^2}x = {tan^6}xleft({{{cos^2}x – {{cot^2}x}}} right).$
e) $frac{{{{tan^2}a – {{tan^2}b}}}}{{{{tan^2}a.{{tan^2}b}}}} = frac{{{{sin^2}a – {{sin^2}b}}}}{{{{sin^2}a.{{sin^2}b}}}}.$
a) $VT = frac{{{{sin^2}x}}}{{{{cos^2}x}}} – {sin^2}x = {sin^2}xleft(1 + {tan^2}xright) – {sin^2}x = VP.$ (Đúng theo câu a).
b) ${sin^6}x + {cos^6}x = left({{sin^2}x + {cos^2}x}right)^3 – 3{sin^2}x.{cos^2}xleft({{sin^2}x + {cos^2}x}right) = 1 – 3{sin^2}x.{cos^2}x.$
c) $VT = {tan^3}xleft({{{cot^2}x + 1}}right) – tan xleft({{{cot^2}x + 1}}right) + {cot^3}xleft({{{tan^2}x + 1}}right) = tan x + {tan^3}x – cot x – tan x + cot x + {cot^3}x = VP.$
d) $VP = {tan^6}x.{cos^2}x – {tan^6}x.{cot^2}x = {tan^4}x.{sin^2}x – {tan^4}x = {tan^4}x.{cos^2}x = {tan^2}x.{sin^2}x = {tan^2}x – {sin^2}x = VT$ (Đúng theo câu a).
e) $VT = frac{1}{{{{tan^2}b}}} – frac{1}{{{{tan^2}a}}} = {cot^2}b – {cot^2}a = frac{1}{{{{sin^2}b}}} – frac{1}{{{{sin^2}a}}} = VP.$
Bài 2: Chúng ta sẽ đơn giản các biểu thức sau đây:
a) $A = frac{1}{{{{cos^2}x}}} – {tan^2}left({{180^0} – x}right) – {cos^2}left({{180^0} – x}right).$
b) $B = frac{{{{cos^2}x – {{sin^2}x}}}}{{{{cot^2}x – {{tan^2}x}}}} – {cos^2}x.$
c) $C = frac{{{{sin^3}a + {{cos^3}a}}}}{{{{cos^2}a + sin a(sin a – cos a)}}}.$
d) $D = sqrt{frac{{1 + sin a}}{{1 – sin a}}} + sqrt{frac{{1 – sin a}}{{1 + sin a}}}.$
a) $A = {tan^2}x + 1 – {tan^2}x – {cos^2}x = {sin^2}x.$
b) $B = frac{{{{cos^2}x – {{sin^2}x}}}}{{frac{1}{{{{sin^2}x}}} – 1 – frac{1}{{{{cos^2}x}}} + 1}} – {cos^2}x = {cos^2}x{sin^2}x – {cos^2}x = – {cos^4}x.$
c) $C = frac{{(sin a + cos a)left({{{sin^2}a – sin a.cos a + {cos^2}a}}right)}}{{{{sin^2}a – sin a.cos a + {cos^2}a}}} = sin a + cos a.$
d) ${D^2} = frac{{1 + sin a}}{{1 – sin a}} + frac{{1 – sin a}}{{1 + sin a}} + 2 = frac{{{{(1 + sin a)}^2} + {{(1 – sin a)}^2}}}{{1 – {{sin^2}a}}} + 2 = frac{{2 + 2{{sin^2}a}}}{{{{cos^2}a}}} + 2 = frac{4}{{{{cos^2}a}}}$.
Suy ra $D = frac{2}{{|cos a|}}.$
Bài 3: Chúng ta sẽ chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào $alpha$:
a) $2left({{{sin^6}alpha + {cos^6}alpha}}right) – 3left({{{sin^4}alpha + {cos^4}alpha}}right).$
b) ${cot^2}{30^0}left({{{sin^8}alpha – {cos^8}alpha}}right) + 4cos {60^0}left({{{cos^6}alpha – {sin^6}alpha}}right) – {sin^6}left({{{90^0} – alpha}}right)left({{{tan^2}alpha – 1}}right)^3.$
c) $left({{{sin^4}x + {cos^4}x – 1}}right)left({{{tan^2}x + {cot^2}x + 2}}right).$
d) $frac{{{{sin^4}x + 3{{cos^4}x – 1}}}}{{{{sin^6}x + {cos^6}x + 3{{cos^4}x – 1}}}}.$
a) $2left({{{sin^6}alpha + {cos^6}alpha}}right) – 3left({{{sin^4}alpha + {cos^4}alpha}}right) = 2left(1 – 3{{sin^2}x.{{cos^2}x}}right) – 3left(1 – 2{{sin^2}x.{{cos^2}x}}right) = – 1.$
b) ${cot^2}{30^0}left({{{sin^8}alpha – {cos^8}alpha}}right) + 4cos {60^0}left({{{cos^6}alpha – {sin^6}alpha}}right) – {sin^6}left({{{90^0} – alpha}}right)left({{{tan^2}alpha – 1}}right)^3 = 3left({{{sin^2}alpha – {cos^2}alpha}}right)left({{{sin^4}alpha + {cos^4}alpha}}right) – 2left({{{sin^2}alpha – {cos^2}alpha}}right)left({{{sin^4}alpha + {{sin^2}alpha.{{cos^2}alpha}} + {cos^4}alpha}}right) – left({{{sin^2}alpha – {cos^2}alpha}}right)^3 = left({{{sin^2}alpha – {cos^2}alpha}}right)^3 – left({{{sin^2}alpha – {cos^2}alpha}}right)^3 = 0.$
c) $left({{{sin^4}x + {cos^4}x – 1}}right)left({{{tan^2}x + {cot^2}x + 2}}right) = – 2.$
d) $frac{{{{sin^4}x + 3{{cos^4}x – 1}}}}{{{{sin^6}x + {cos^6}x + 3{{cos^4}x – 1}}}} = frac{2}{3}.$