Bài viết dưới đây sẽ giúp chúng ta hiểu cách chứng minh một biểu thức không phụ thuộc vào biến x. Đồng thời, qua đó, rèn luyện kỹ năng giải toán.
Mục lục
I. Cách chứng minh biểu thức không phụ thuộc biến
Để chứng minh giá trị một biểu thức không phụ thuộc vào biến, ta cần thực hiện các bước sau:
- Thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức, và đa thức với đa thức (nếu có).
- Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau rồi rút gọn.
II. Bài tập vận dụng chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến
* Bài tập 1:
Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x:
a) A = x(2x+1) – x2(x + 2) + (x3 – x + 10)
b) B = x(3×2 – x + 5) – (2×3 + 3x – 16) – x(x2 – x + 2)
Lời giải:
a) A = x(2x+1) – x2(x + 2) + (x3 – x + 10)
= 2×2 + x – x3 – 2×2 + x3 – x + 10
= (x3 – x3) + (2×2 – 2×2 + (x – x) + 10
= 0 + 0 + 0 +10
= 10
Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào biến x.
b) B = x(3×2 – x + 5) – (2×3 + 3x – 25) – x(x2 – x + 2)
= 3×3 – x2 + 5x – 2×3 – 3x + 25 – x3 + x2 – 2x
= (3×3 – 2×3 – x3) + (x2 – x2) + (5x – 3x – 2x) + 25
= 0 + 0 + 0 + 25
= 25
Vậy giá trị của biểu thức B không phụ thuộc vào biến x.
* Bài tập 2:
Chứng tỏ rằng các đa thức sau không phụ thuộc vào biến x:
a) C = (x2 – x).(x + 1) – (x2 + x).(x – 1)
b) D = x2(x – 2) – x(x2 + x + 1) + x(3x + 1)
Lời giải:
a) C = (x2 – x).(x + 1) – (x2 + x).(x – 1)
= (x2 – x).(x + 1) – (x2 + x).(x – 1)
= x2(x + 1) – x.(x + 1) – x2(x – 1) – x(x – 1)
= x3 + x2 – x2 – x – x3 + x2 – x2 + x
= (x3 – x3) + (x2 – x2 + x2 – x2) + (x – x)
= 0 + 0 + 0 = 0
Vậy giá trị của biểu thức C = 0 không phụ thuộc vào biến x.
b) D = x2(x – 2) – x(x2 + x + 1) + x(3x + 1)
= x2.x – x2.2 – x.x2 – x.x – x.1 + x.3x + x.1
= x3 – 2×2 – x3 – x2 – x + 3×2 + x
= (x3 – x3) + (3×2 – 2×2 – x2) + (x – x)
= 0 + 0 + 0 = 0
Vậy giá trị của biểu thức D = 0 không phụ thuộc vào biến x.
* Bài tập 3:
Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x và y
A = (x – 2y)(x + 2y) + (2y – x)(2y + x) + 2022
Lời giải:
Ta có: A = (x – 2y)(x + 2y) + (2y – x)(2y + x) + 2022
= x(x + 2y) – 2y(x + 2y) + 2y(2y + x) – x(2y + x) + 2022
= x2 + 2xy – 2xy – 4y2 + 4y2 + 2xy – 2xy – x2 + 2022
= (x2 – x2) + (4y2 – 4y2) + (2xy – 2xy + 2xy – 2xy) + 2022
= 0 + 0 + 0 + 2022
= 2022
Vậy giá trị của biểu thức A = 2022 và không phụ thuộc vào biến x và y.
* Bài tập 4:
Chứng minh giá tri của biểu thức sau không phụ thuộc giá trị của biến x, y.
B = (2x – y2)(2x + y2) + (y2 + 3)(y2 – 3) – 4×2
Lời giải:
Ta có: B = (2x – y2)(2x + y2) + (y2 + 3).(y2 – 3) – 4×2
= 2x(2x + y2) – y2(2x + y2) + y2(y2 – 3) + 3(y2 – 3) – 4×2
= 4×2 + 2xy2 – 2xy2 – y4 + y4 – 3y2 + 3y2 – 9 – 4×2
= (4×2 – 4×2) + (2xy2 – 2xy2) + (y4 – y4) + (3y2 – 3y2) – 9
= 0 + 0 + 0 + 0 – 9
= -9
Vậy giá trị của biểu thức B = -9 và không phụ thuộc vào biến x và y.
* Bài tập 5:
Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc giá trị của biến x.
A = (2x – 4).(1 – x2) + x(2×2 – 2 – 4x)
Lời giải:
Ta có: A = (2x – 4).(1 – x2) + x(2×2 – 2 – 4x)
= 2x(1 – x2) – 4(1 – x2) + 2×3 – 2x – 4×2
= 2x – 2×3 – 4 + 4×2 + 2×3 – 2x – 4×2
= (2×3 – 2×3) + (4×2 – 4×2) + (2x – 2x) – 4
= 0 + 0 + 0 – 4
= -4
Vậy giá trị của biểu thức A = -4 không phụ thuộc giá trị biến x.
