Hai mặt phẳng song song là một khái niệm quan trọng trong hình học không gian. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về lý thuyết hai mặt phẳng song song, các định lý liên quan, tính chất của chúng và cách chứng minh. Đồng thời, chúng ta cũng sẽ giải một số bài tập thú vị để rèn luyện khả năng áp dụng kiến thức. Hãy cùng khám phá ngay!
Mục lục
1. Hai mặt phẳng song song là gì?
Hai mặt phẳng song song là hai mặt phẳng không có điểm chung, được kí hiệu là (α) // (β) hoặc (β) // (α).
2. Định lý về hai mặt phẳng song song
- Đường thẳng a và b nằm trong mặt phẳng (α) cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (β), ta có (α) // (β).
- Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau trong hai mặt phẳng song song.
- Ba mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến bất kì trong mặt phẳng thì sẽ có những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
3. Tính chất của hai mặt phẳng song song
- Tính chất 1: Trong mặt phẳng (β) cho trước có điểm A, có duy nhất một mặt phẳng (α) song song với (β). Hệ quả: Trong mặt phẳng (α) có điểm A, các đường thẳng đi qua A song song (α) cùng nằm trên (β) đi qua A // (α).
- Tính chất 2: Hai mặt phẳng (α) // (β). Một mặt phẳng bất kỳ cắt (α) và (β) lần lượt theo hai giao tuyến a và b thì a song song b.
4. Các phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song
Phương pháp 1:
- Bước 1: Hai đường thẳng a, b cắt nhau trong mặt phẳng (P) lần lượt song song với hai đường thẳng a’, b’ cắt nhau trong mặt phẳng (Q).
- Bước 2: Theo điều kiện cần và đủ, kết luận (P) // (Q).
Phương pháp 2:
- Bước 1: Trong mặt phẳng (P), tìm hai đường thẳng a, b cắt nhau.
- Bước 2: Chứng minh a // (Q) và b // (Q).
- Bước 3: Suy ra (P) // (Q).
5. Các dạng bài tập chứng minh hai mặt phẳng song song (có lời giải chi tiết)
Bài tập 1:
Hình chóp S.ABCD, đáy hình bình hành có O là tâm. Trung điểm SA, SD lần lượt là M, N.
a. Chứng minh rằng (OMN) song song (SBC)
b. AB, ON lần lượt có trung điểm là P, Q. Chứng minh rằng PQ song song (SBC)
Bài tập 2:
Hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Trung điểm của SA và CD lần lượt là M và N.
a. Chứng minh (OMN) song song (SBC)
b. SD có trung điểm là I, trên (ABCD) có điểm J cách đều AB và CD. Chứng minh IJ song song (SAB)
Bài tập 3:
Hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành. Trung điểm của BC, AC, SB và AD lần lượt là M, N, P, Q.
a. Chứng minh (MNP) song song (SAC)
b. Chứng minh PQ song song (SCD)
c. AM và BD có giao điểm I, J thuộc SA để AJ = 2JS. Suy ra IJ song song (SBC)
Bài tập 4:
Đáy hình bình tâm O của hình bình hành ABCD. SA và CD có M và N là trung điểm.
a. Chứng minh (OMN) song song (SBC)
b. ON và (SBC) có giao điểm là I
c. SI cắt BM tại G, trọng tâm ΔSCD là H. Chứng minh GH song song SAD
d. AD có J là trung điểm, E MJ. Chứng minh OE song song (SCD)
Bài tập 5:
Hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O. Trung điểm SB, SC có M, N là trung điểm.
a. Giao tuyến (SAB) và (SCD) là gì
b. Tìm điểm giao SD và (MNP)
c. Thiết diện hình chóp (MNP) là hình gì
d. J thuộc MN. Chứng minh OJ song song (SAD)
Bài tập 6:
Hình chóp S.BCD đáy hình bình hành. DC, AB, SB, BG, BI có trung điểm.
a. Chứng minh (IJG) song song (SAD)
b. Chứng minh PQ song song (SAD)
c. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (IJG) là gì
d. Giao tuyến của hai mặt phẳng (ACG) và (SAD) là gì
Bài tập 7:
Hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành tâm O. Trung điểm của BC, CD và SC lần lượt là M, N, P.
a. Chứng minh (MNP) song song (SBD)
b. Tìm giao tuyến (SAB) và (SCD)
c. Tìm giao tuyến (MNP) và (SAD) và suy ra giao điểm SA và (MNP)
d. AP và SO là giao của I, AM và BD là giao của J. Chứng minh IJ song song MNP
Đây là một số bài tập về lý thuyết hai mặt phẳng song song và cách chứng minh. Hy vọng rằng sau bài viết này, các bạn học sinh sẽ nắm chắc kiến thức này và đạt kết quả tốt trong bài kiểm tra. Chúc các bạn học tốt!
Đăng ký ngay để được các thầy cô tổng hợp kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi sớm THPT môn Toán từ bây giờ!