Trong chuyên đề này, chúng ta sẽ tìm hiểu về các tính chất của chữ số tận cùng trong số tự nhiên.
Tính chất 1:
- Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ số tận cùng không thay đổi.
- Các số có chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng không thay đổi.
- Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (với n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 1.
- Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (với n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 6.
Bài toán 1: Tìm chữ số tận cùng của các số:
a) 799
b) 141414
c) 4567
Lời giải:
a) Chữ số tận cùng của 799 là 9 (theo tính chất 1c).
b) Chữ số tận cùng của 141414 là 6 (theo tính chất 1d).
c) Chữ số tận cùng của 4567 là 4 (theo tính chất 1d).
Tính chất 2:
Một số tự nhiên bất kỳ, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (với n thuộc N) thì chữ số tận cùng không thay đổi. Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách tính tổng các chữ số tận cùng của từng lũy thừa trong tổng.
Bài toán 2: Tìm chữ số tận cùng của tổng S = 21 + 35 + 49 + … + 20048009.
Lời giải: Tổng S có các lũy thừa với số mũ chia cho 4 dư 1. Theo tính chất 2, chữ số tận cùng của tổng S chính là chữ số tận cùng của tổng: (2 + 3 + … + 9) + 199.(1 + 2 + … + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 9009. Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 9.
Tính chất 3:
a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 7 ; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 3.
b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 8 ; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 2.
c) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ không thay đổi chữ số tận cùng.
Bài toán 3: Tìm chữ số tận cùng của tổng T = 23 + 37 + 411 + … + 20048011.
Lời giải: Tổng T có các lũy thừa với số mũ chia cho 4 dư 3. Theo tính chất 3, chữ số tận cùng của tổng T chính là chữ số tận cùng của tổng: (8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8 + 7 + 4 = 9019. Vậy chữ số tận cùng của tổng T là 9.
Như vậy, chúng ta đã tìm hiểu về các tính chất của chữ số tận cùng trong số tự nhiên. Các bài toán thực hành giúp chúng ta nắm vững kiến thức này và ứng dụng vào các bài toán tương tự.