Hình thoi ABCD có góc A bằng 60 độ và giao điểm của hai đường chéo là O. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về tính chất của đường tròn trong hình thoi.
Tính chất của đường tròn trong hình thoi
Theo đề bài, ta có các trung điểm E, F, G, H của các cạnh AB, BC, CD, DA theo thứ tự. Ta cần chứng minh rằng sáu điểm E, B, F, G, D, H nằm trên cùng một đường tròn.
Chứng minh
Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình thoi ABCD, với AC vuông góc với BD tại O.
Xét tam giác OAB vuông tại O, ta có:
- OE là trung tuyến do E là trung điểm của AB.
- ⇒ OE=EB=EA=AB/2
Với BAD=60 độ, suy ra BAO=30 độ (do đường chéo AC cũng là đường phân giác của góc A).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác, ta có:
- OB=AB.sinOAB=AB.sin30=AB/2
- ⇒ OB=OE=AB/2 (1)
Xét tam giác COB vuông tại O, ta có:
- OF là trung tuyến do F là trung điểm của BC.
- ⇒ OF=FB=FC=BC/2
Với BCD=BAD=60 độ (do ABCD là hình thoi), suy ra BCO=30 độ (do đường chéo AC cũng là đường phân giác của góc C).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác, ta có:
- OB=BC.sinBCO=BC.sin30=BC/2
- ⇒ OB=OF=BC/2 (2)
Tương tự, xét tam giác COD vuông tại O, ta có:
- OG là trung tuyến do G là trung điểm của CD.
- ⇒ OG=GD=GC=CD/2
Với BCD=BAD=60 độ (do ABCD là hình thoi), suy ra DCO=30 độ (do đường chéo AC cũng là đường phân giác của góc C).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác, ta có:
- OD=CD.sinDCO=CD.sin30=CD/2
- ⇒ OD=OG=CD/2 (3)
Cuối cùng, xét tam giác AOD vuông tại O, ta có:
- OH là trung tuyến do H là trung điểm của AD.
- ⇒ OH=HD=HA=AD/2
Với BAD=60 độ, suy ra DAO=30 độ (do đường chéo AC cũng là đường phân giác của góc A).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác, ta có:
- OD=AD.sinDAO=AD.sin30=AD/2
- ⇒ OH=OD=AD/2 (4)
Vì ABCD là hình thoi, nên AB=BC=CD=AD (5).
Từ (1), (2), (3), (4) và (5), ta suy ra:
- OE=OB=OF=OG=OD=OH=AB/2
Do đó, E, B, F, G, D, H cùng nằm trên đường tròn có tâm O và bán kính R=AB/2.
Đây là kết quả cần chứng minh.
Ảnh minh họa:
Hy vọng qua bài viết này, bạn đã hiểu thêm về tính chất của đường tròn trong hình thoi. Nếu bạn quan tâm đến các bài toán toán học khác, hãy tham khảo các lời giải sách bài tập Toán lớp 9 hay. Chúc bạn học tốt!
