Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Bài toán này yêu cầu tính thể tích của khối chóp S.AB’C’D’ với điểm B’, D’ được lấy tuân theo các quy tắc sau:
- AB’ vuông góc với SB, AD’ vuông góc với SD.
- Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.
Để giải bài toán này, chúng ta xem xét các quy tắc hình học sau đây:
Quy tắc hình học
- BC ⊥ SA, SA ⊥ ABCD ⇒ BC ⊥ AB’
- Mà AB’ ⊥ SB, nên AB’ ⊥ SBC ⇒ AB’ ⊥ SC (1)
- AD’ ⊥ SCD ⇒ AD’ ⊥ SC (2)
Từ (1) và (2), ta có:
- SB = AB^2 + SA^2 = a^2 + c^2
- SC = SA^2 + AC^2 = a^2 + b^2 + c^2
Tiếp theo, chúng ta tính các giá trị sau:
- AB’ = SA.AB/SB = c.aa^2 + c^2
- AD’ = SA.AD/SD = b.cb^2 + c^2
- AC’ = SA.AC/SC = c.a^2 + b^2/a^2 + b^2 + c^2
Tương tự, ta tính được:
- SB’ = SA^2 – AB’^2 = c^2 – ca.a^2 + c^2/2
- SD’ = c^2/b^2 + c^2
- SC’ = c^2/a^2 + b^2 + c^2/a^2 + b^2 + c^2
Vì tam giác SC’B’ đồng dạng với tam giác SBC, nên ta có:
- B’C’ = BC.SC’/SB = b.c^2/a^2 + b^2 + c^2/a^2 + b^2 + c^2
Tương tự, ta tính được:
- C’D’ = (ac^2)/(b^2 + c^2)(a^2 + b^2 + c^2)
Tiếp theo, ta tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo công thức:
- V = 1/3.SC’.SAB’C’D’ = 1/3.(c^2/a^2 + b^2 + c^2)(abc^3)/(a^2 + b^2 + c^2)(a^2 + c^2 + b^2 + c^2)
Simplifying the equation:
V = 16.abc^5/(a^2 + b^2 + c^2)(a^2 + c^2 + 2b^2 + c^2)
Vậy, thể tích khối chóp S.AB’C’D’ là:
V = 16.abc^5/(a^2 + b^2 + c^2)(a^2 + c^2 + 2b^2 + c^2)
Đây là cách tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ khi biết các giá trị: a, b, c. Hy vọng bài toán này sẽ giúp bạn nắm vững hơn về hình học.
