Dãy số là một khái niệm quen thuộc trong toán học. Nhưng bạn có biết rằng dãy số có nhiều tính chất thú vị và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau? Hãy cùng khám phá những điều thú vị về dãy số qua bài viết này nhé!
Mục lục
Định nghĩa dãy số
Dãy số là một hàm số xác định trên tập các số nguyên dương ℕ*. Được viết dưới dạng khai triển u1, u2, u3,…, un,… trong đó un là số hạng tổng quát của dãy số.
Ví dụ 1:
- Dãy các số tự nhiên chẵn: 2, 4, 6, 8,… có công thức số hạng tổng quát un = 2n.
- Dãy các số tự nhiên chia hết cho 5: 5, 10, 15, 20,… có công thức số hạng tổng quát un = 5n.
Đôi khi, dãy số có số lượng hữu hạn các số hạng. Khi đó, ta gọi là dãy số hữu hạn.
Ví dụ 2:
- Dãy số hữu hạn: 4, 7, 10, 13, 16, 19 có số hạng đầu u1 = 4 và số hạng cuối u6 = 19.
- Dãy số hữu hạn: 1, 12, 13, 14, 15, 16 có số hạng đầu u1 = 4 và số hạng cuối u6 = 16.
Cách cho một dãy số
Có nhiều phương pháp để tạo ra một dãy số. Chúng ta có thể cho dãy số bằng công thức của số hạng tổng quát, phương pháp mô tả hoặc phương pháp truy hồi.
Ví dụ 3:
- Dãy số (un) với un = n^2. Ta có thể tính được bất kỳ số hạng nào của dãy, ví dụ như u10 = 10^2 = 100. Dãy số này có dạng khai triển: 1, 4, 9, 16, 25, 36,…
- Dãy số (un) với un = (-1)^n có dạng khai triển: -1, 1, -1, 1, -1, 1,…
Bên cạnh đó, chúng ta có thể cho dãy số bằng phương pháp mô tả hoặc phương pháp truy hồi.
Ví dụ 4:
- Dãy số (un) được xác định bằng phương pháp mô tả, ví dụ như dãy số gần đúng của số 2: u1 = 1.4, u2 = 1.41, u3 = 1.414, u4 = 1.4142,…
- Dãy số (un) được xác định bằng phương pháp truy hồi, ví dụ như dãy số Fibonacci: u1 = 1, u2 = 1, un = un-1 + un-2 (với n ≥ 3).
Biểu diễn hình học của dãy số
Dãy số có thể được biểu diễn bằng đồ thị trong mặt phẳng tọa độ. Mỗi số hạng của dãy số sẽ tương ứng với một điểm trên đồ thị.
Ví dụ 6:
- Dãy số (un) với un = n + 1/n có biểu diễn hình học như sau:
(Viết hình đồ thị ở đây)
Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn
Dãy số có thể được phân loại thành dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn.
Định nghĩa:
- Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu un+1 > un với mọi n ∈ ℕ*.
- Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm nếu un+1 < un với mọi n ∈ ℕ*.
Ví dụ 7:
- Dãy số (un) với un = 2 – 2n là dãy số giảm. Cụ thể, ta có: un+1 – un = -2 < 0, do đó un+1 < un với mọi n ∈ ℕ*.
Cần lưu ý rằng không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm, như dãy số (-1)^n.
Ngoài ra, dãy số cũng có thể bị chặn, tức là tồn tại một giới hạn trên hoặc dưới cho các số hạng của dãy.
Ví dụ 8:
- Dãy số (un) với un = 1/n được chặn vì 0 < un ≤ 1.
Thông qua những ví dụ trên, hy vọng bạn đã có cái nhìn tổng quan về dãy số và nhận ra sự thú vị của chúng. Dãy số không chỉ là một khái niệm toán học mà còn ứng dụng trong nhiều lĩnh vực trong cuộc sống. Hãy tiếp tục khám phá và tìm hiểu thêm về dãy số nhé!