Tiếp tục với chuyên đề hình học Toán lớp 9, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về Đường tròn ngoại tiếp và Đường tròn nội tiếp. Chúng ta sẽ đi vào lý thuyết cần nắm và giải bài tập phức tạp. Hãy cùng bắt đầu!
Mục lục
I. Lý thuyết cần nắm về Đường tròn ngoại tiếp – Đường tròn nội tiếp
1. Đường tròn ngoại tiếp
a) Định nghĩa
Đường tròn ngoại tiếp đa giác là đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của đa giác, và đa giác đó được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn.
Ví dụ: Trong các hình dưới đây, đường tròn tâm O đi qua tất cả các đỉnh của đa giác là đường tròn ngoại tiếp đa giác.
Khi đó, ΔABC, tứ giác CBAD và ngũ giác ABCDE
lần lượt được gọi là tam giác nội tiếp, tứ giác nội tiếp và ngũ giác nội tiếp đường tròn.
b) Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác
Tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác là giao điểm của các đường trung trực của tất cả các cạnh.
Vậy để xác định tâm đường tròn ngoại tiếp một đa giác, ta cần làm như sau:
- Kẻ các đường trung trực của các cạnh sau đó xác định giao điểm.
- Vẽ đường tròn có tâm là giao điểm của các đường trung trực và bán kính chính là khoảng cách tính từ giao điểm đến các đỉnh.
Một đa giác sẽ có đường tròn ngoại tiếp nếu đường trung trực của các cạnh đồng quy tại một điểm và điểm đồng quy đó chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác.
2. Đường tròn nội tiếp
a) Định nghĩa
Đường tròn nội tiếp là đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác, và đa giác đó được gọi là đa giác ngoại tiếp đường tròn.
Ví dụ: Đường tròn tâm O trong hình dưới là đường tròn nội tiếp vì nó tiếp xúc với tất cả các cạnh của đa giác.
Khi đó, ΔABC, tứ giác CBAD và ngũ giác ABCDE được gọi lần lượt là tam giác ngoại tiếp, tứ giác ngoại tiếp và ngũ giác ngoại tiếp đường tròn tâm O.
b) Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác
Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao (∩) của các đường phân giác của tất cả các góc trong một đa giác.
Để có thể xác định tâm đường tròn nội tiếp một đa giác, ta cần làm như sau:
- Kẻ các đường phân giác của các góc sau đó xác định giao điểm.
- Kẻ đường thẳng đi qua giao điểm và vuông góc với một cạnh bất kỳ nhằm xác định bán kính.
Vậy một đa giác có đường tròn nội tiếp khi đường phân giác của các góc trong đồng quy và điểm đồng quy chính là tâm của đường tròn nội tiếp đa giác đó.
3. Định lý
Bất kỳ đa giác nào cũng đều có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp.
Ngũ giác đều ABCDE có một đường tròn nội tiếp và một đường tròn ngoại tiếp. Đặc biệt, tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp ngũ giác đều ABCDE trùng nhau, đều là tâm O.
Chú ý: Tâm của một đường tròn ngoại tiếp trùng với tâm đường tròn nội tiếp và được gọi là tâm của đa giác đều.
II. Bài tập về Đường tròn ngoại tiếp – Đường tròn nội tiếp
Bài tập tự luận
Bài 1: (61/91/SGK TOÁN 9T2)
a) Vẽ một đường tròn tâm O với bán kính 2cm.
b) Vẽ một hình vuông nội tiếp đường tròn (O) theo câu a.
c) Tính độ dài bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông tìm được ở câu b rồi vẽ đường tròn tâm O có bán kính r.
Lời giải:
a) Vẽ đường tròn tâm O với bán kính bằng 2cm.
b) Vẽ hai đường kính AC và BD vuông góc với nhau tại tâm O. Nối 4 điểm A, B, C và D lại với nhau ta có được hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O có bán kính dài 2cm.
c) Kẻ đường cao OH ứng với cạnh AB (H ∈ AB).
ΔAOB có OA = OB (=R) ⇒ ΔAOB cân tại O.
Lại có: Góc AOB = 90° (vì AC ⊥ BD theo tính chất đường chéo của hình vuông, nên ΔAOB vuông cân tại O).
⇒ R = OH = (OB√2)/2 = √2 (cm)
Bài 2: (62/91/SGK TOÁN 9 T2)
a) Vẽ tam giác đều ABC có cạnh a = 3 cm.
b) Vẽ tiếp tuyến đường tròn (O ; R) ngoại tiếp tam giác đều ABC, tính R.
c) Vẽ đường tròn tâm O, bán kinh r nội tiếp tam giác đều ABC, tìm r.
d) Vẽ tam giác IJK đều ngoại tiếp đường tròn (O ; R).
a) Cách vẽ: Muốn vẽ một tam giác đều ABC có cạnh dài 3cm ta vẽ:
- Vẽ đoạn thẳng BC dài 3cm.
- Lấy B làm tâm vẽ cung tròn bán kính 3cm.
- Lấy C làm tâm vẽ cung tròn bán 3cm.
- Cùng trên tâm B và cùng trên tâm C cắt nhau tại A.
- Nối A với B, nối A với C ta được tam giác đều ABC cạnh có độ dài 3cm.
b) Cách vẽ:
- Vẽ các đường cao AH, BE ứng với cạnh BC và cạnh AC. AH và BE cắt nhau tại O.
- O chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vì O cách đều A, B, C (Tam giác đều ba
đường cao đồng thời ba đường trung tuyến, trung trực, phân giác). - Vẽ tiếp đường tròn tâm O có bán kính OA = R.
Ta có: R = OA = 2/3 AH = 2/3. (AB√3)/3 = √3 (cm)
c) Đường tròn nội tiếp một tam giác có tâm là giao điểm của ba đường phân giác trong của
tam giác đó.
Vì ABC là tam giác nên O là giao điểm của ba đường cao AH, BE, CF đồng thời O cũng
là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác này.
Vẽ đường tròn tâm O bán kính OH = r là đường tròn nội tiếp ΔABC.
Theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác thì OA = 1/3 AH.
ΔAHB vuông tại H (tam giác đều đường phân giác cũng là đường cao) nên:
AB² = AH² + HB² (Định lí Pytago).
= AH² = AB² – HB² = a² – (a/2)² = a² – a²/4 = 3a²/4
= AH = (a√3)/2
Mà OH = 1/3 AH ⇒ OH = r = 1/3.(a√3)/2 = √3/2 (a = 3 cm)
d) Biết rằng tam giác ngoại tiếp đường tròn, thì đường tròn nội tiếp tam giác đó.
Do đó tam giác đều IJK ngoại tiếp đường tròn (O ; R) thì đường tròn (O ; R) nội tiếp tam giác này ⇒ Tâm O của (O ; R) chính là giao điểm của ba đường trung trực, phân giác, đường cao của tam giác đều IJK. Từ đó ta có cách vẽ.
Vẽ ba đường thẳng ứng với OA, OB, OC tại A, B, C, ba đường thẳng này cắt nhau tại I, J, K.
IJK chính là tam giác đều phải vẽ.
Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Tính độ dài cạnh của tam giác đều nội tiếp (O; R) theo R
A. R/√3 B. √3R C. R√6 D. 3R
Lời giải:
Gọi tam giác nội tiếp đường tròn (O; R) là ΔABC đều cạnh a. Khi đó ta có O là trọng tâm của tam giác ABC. Gọi đường trung tuyến là AH.
⇒ R = AO = 2/3 AH ⇒ AH = 3R/2
Theo định lý Pytago ta có:
AH² = AB² – HB² = 3a²/4 ⇒ AH = (a√3)/2
Từ đó: 3R/2 = (a√3)/2 ⇒ a = √3R
Vậy B là đáp án cần tìm
Câu 2: Tính diện tích của một tam giác đều nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính 2cm.
A. 6 cm². B. 6√3 cm². C. 3 cm². D. 3√3 cm².
Lời giải:
Gọi tam giác nội tiếp đường tròn (O; 2cm) là ΔABC đều cạnh a. Khi đó ta có điểm O là trọng tâm tam giác ABC và cũng là của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ⇒ OA = 2cm.
Gọi đường trung tuyến là AH ⇒ 2/3AH = AO = 2cm ⇒ AH = 3cm
Theo định lý Pytago ta có:
AH² = AB² – BH² = 3a²/4 ⇒ AH = (a√3)/2
Mà AH = 3cm ⇒ 3 = (a√3)/2 ⇒ a = 2√3 cm
Diện tích tam giác ABC là: S ΔABC = 1/2.AH.BC = 1/2 x 3 x 2√3 = 3√3 cm²
Vậy D là đáp án cần tìm.
Câu 3: Cho đường tròn tâm O có bán kính = 4. Dây AC có độ dài bằng cạnh hình vuông nội tiếp và dây BC có độ dài bằng cạnh tam giác đều nội tiếp đường tròn đó (Hai điểm A và C nằm cùng phía với BO). Tìm số đo góc ACB?
A. 30° B. 45° C. 60° D. 15°
Lời giải:
- Vì AC bằng cạnh của hình vuông nội tiếp (O) ⇒ số đo cung AC = 90°.
- Vì BC bằng cạnh của tam giác đều nội tiếp (O) ⇒ số đo cung BC = 120°.
⇒ Số đo cung AB = 120° – 90° = 30°
Vì góc ACB là góc nội tiếp chắn cung AB ⇒ góc ACB = 30°/2 = 15°.
Vậy D là đáp án cần tìm.
Mong rằng qua bài viết này, các em học sinh đã nắm vững kiến thức về Đường tròn ngoại tiếp và Đường tròn nội tiếp và có thể áp dụng vào bài tập của mình.
